小議二次函數問題中的“降維打擊”

廣東省東莞市黃江中學

二次函數問題是數學中考的熱點對象，在歷年各地的中考題里面求滿足具體條件的點的坐標問題經常出現.該類問題設計情景豐富，問法多種多樣，部分學生面對這類問題時會對情景理解感到困難，或者分析不出解決問題的關鍵，使這部分學生產生畏難情緒，放棄得分.其實我們可以在一些中考題中得到一些啟發，這些二次函數中的問題其實可以通過“降維打擊”來解決.下面就從三個例子來說明.

例1(2018年黑龍江中考數學試題) 如圖1，拋物線y=x2+bx+c與y軸 交于點A(0,2)，對 稱軸為 直 線x=-2，平行于x軸的直線與拋物線交于B,C兩點，點B在對稱軸左側，BC=6.

(1)求此拋物線的解析式.

(2)點P在x軸上，直線CP將ΔABC面積分成2: 3兩部分，請直接寫出P點坐標.

圖1

圖2

分析第一小問：易得二次函數解析式為y=x2+4x+2.

第二問：若學生設點P的坐標，然后求出直線CP與AB的交點，來迎合題目的條件，這樣十分費時費力，效果不理想.其實我們可以引導學生先根據對稱軸x=-2和BC=6 等條件求出點B(-5,7),C(1,7)，再從面積條件入手，利用面積比在直線AB上找到一個輔助點M(如圖2)，如何得到M的坐標呢？ΔBCA與ΔBCM同底，直線CP將ΔABC面積分成2: 3 兩部分，從而得BM:AB=2: 5或BM:AB=3: 5，于是我們可以過點M向BC或者y軸作垂線，求出對應垂線段長度，得點M的縱坐標或者橫坐標，利用直線AB的解析式，求出點M的坐標為(-2,4)或(-3,5)，再求出直線CM解析式，就能求出點P的坐標.我們可以看出第二問中多次利用線段長度和直線解析式，體現了轉化思想的運用，讓學生知道尋找合適的輔助點或輔助線來幫助解決問題.