2019年廣州市中考數學第25題的解題研究

廣東省廣州市真光中學

二次函數是初中數學的重要內容之一，也是初中數學與高中數學聯系的紐帶，高中階段我們會繼續深入地學習它.據學生反饋，關于二次函數及其圖象的抽象度高，綜合性強，因此學生普遍感到學習難度大，且其內容在中考中占有較大的比重.二次函數的試題能夠較好地考查學生的函數與方程、數形結合、分類討論和轉化的思想方法，也能較全面地反饋學生的綜合能力，因此，二次函數在中考中既是難點，也是熱點.筆者研究了近幾年廣州市中考試題，現以2019年廣州市中考數學第25題為例，把自己的一點想法撰寫成文，與讀者交流，請予以斧正.

1 試題呈現

已知拋物線G:y=mx2-2mx-3 有最低點.

(1)求二次函數y=mx2-2mx-3的最小值(用含m的式子表示)；

(2)將拋物線G向右平移m個單位得到拋物線G1.經過探究發現，隨著m的變化，拋物線G1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數關系，求這個函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

(3)記(2)所求的函數為H，拋物線G與函數H的圖象交于點P，結合圖象，求點P的縱坐標的取值范圍.

2 難點解讀

本題主要考查二次函數的綜合問題，解題的關鍵是掌握二次函數的圖象和性質、圖象的平移、二次函數的最值問題、函數與函數的交點問題，解題的難點在于學生能否利用數形結合等思想去解題.

對于第(1)問，

方法一把二次函數一般式配方成頂點式

由題意知m ＞0，因為y=mx2-2mx -3 =m(x2-2x+1)- m -3 =m(x -1)2- m -3.又因為(x -1)2≥0,m ＞0.所以m(x -1)2≥0.因此，m(x-1)2-m-3≥-m-3，即y ≥-m-3.當x=1時，y取最小值，最小值為-m-3.

方法二利用二次函……