淺談初中數學常見探索性問題及解法

李佩鸞

【摘要】近幾年各地中考試卷中涌現出形式多樣的探索性試題，它既能充分地考查學生基礎知識掌握的熟練程度，又能較好地考查學生的觀察、分析、比較、概括的能力，發散思維能力、探索發現能力、獨立創新能力和解決實際問題的能力等。探索型題一般沒有明確結論，沒有固定的形式和方法，要求學生通過自己的觀察、分析、比較、概括、得出結論，并加以論證結論的正確性。常見的探索性試題大致有3種：條件探索型、存在探索型、結論探索型。

【關鍵詞】初中數學;解題策略;探索性問題;創造性思維能力

所謂探索性問題，是指在指定條件下尚不明確的結論、或由給出的結論探求滿足該結論所需要的條件的一類問題。探索性問題是開放性問題中的一種，其特點在于問題條件或結論不直接給出，需要解題者充分利用已知條件進行觀察、猜想、分析、歸納、推理，或探索不明確的結論，或尋找各種可能使問題成立的條件，或發現問題中所隱含的定理、公式、規律等。開放探索性題重在開發思維，促進創新，有利于培養學生的探索能力，而且還提供了創造性思維空間，是近年來數學問題中的熱點問題。此類問題雖背景新穎，不拘泥于常規解法，但對于近幾年中考出現的此類題還是有一定規律可循的。以下將介紹幾類探索性題目及其常用的解題策略。

一、條件探索型

題目中由問題給定的結論去尋找待補充或完善的條件，常用“當滿足什么條件時，能得到相應結論”的語句，解題時需執果索因，其解法類似于分析法，在結論成立的條件下，逐步探索其成立條件。它改變了傳統的思維模式，開拓學生的逆向思維，并能提高分析問題的能力。一般解題策略：執果索因，假設有了相應結論，再通過嚴密推理尋找使結論成立的條件。

例1：如圖（1）在等邊△ABC中，D、F分別為BC、AB上的點，且CD=BF，以AD為邊作等邊△ADE。（1）求證：△ACD≌△CBF;（2）探究：當點D在線段BC上何處時，四邊形CDEF是平行四邊形，且∠DEF=30°。分析：（1）由邊角邊公里不難證明;（2）當點D為線段BC中點時，由∠DEF=30°，延長EF交AD于點M，則點M為AD中點，在 CDEF 中，EM∥DC，則F也為AB邊中點，即BF=1/2·AB，而BF﹦CD，∴CD﹦1/2·BC，故當點D為BC邊中點時滿足題目條件。

二、 存在探索型

這種題型是探索性問題中較常見的一類，即問題在某種題設條件下，要判斷具有某種性質的數學對象是否存在，結論常以“若存在，給出證明;若不存在， 說明理由”等形式出現。一般解題策略：先假設結論成立，看是否導致矛盾，或達到與已知條件溝通，從而確定探索元素是否存在。

三、結論探索型

此類題沒有給出結論，要求解題者由問題給定的條件去探求相應的結論一般解題策略：根據條件，結合已學知識、數學思想方法，通過分析、歸納逐步得出結論。

例4：如圖（5）正方形ABCD邊長為2a，M是以BC為直徑的半圓上一點，過點M與半圓相切的直線分別交AB、CD于E、F。探究：當M在半圓上移動時，切線EF在AB、CD上兩交點也分別移動（點E、F分別不與A、D重合）試問四邊形AEFD周長是否在變化，證明你的結論。

分析：由題意知AB、CD、EFD都和半圓相切，則EB=EM，FM=FC。

∴四邊形AEFD的周長為：AE+EM+MF+FD+AD=AB+CD+AD=6a（這是一個定值），故盡管切線切點移動，但該四邊形的周長不變。

此題在解答過程中運用切線長定理，把四邊形AEFD的邊長EF轉化為EB與FC之和，從而得到周長為定值。在探索某個值變與不變的問題時，有時不能直接得出結論，通常可取特殊情況（如上題取EF∥BC），先得結論，再設法證明。以上粗略介紹了幾類常見的探索性題及一般解題策略。

最后談幾點解此類題該注意的問題：1.認真審題，理解題意，盡可能地把題目涉及到的有關概念、性質、定理、公式、方法等都弄清楚，從而獲得最佳解題途徑;2.挖掘題目隱含條件，提高解題正確性，做到判斷正確，運算合理;3.開闊思路，這類題型要因題而定法，在充分分析命題特點的基礎上，聯想并利用與之相關的性質等，盡可能把問題轉化為熟悉、簡單的情形來處理。

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