對“奇奇魔力卡”數學游戲的思考

單尹藝

摘? 要：一張小小的游戲卡——奇奇魔力卡引出許多數學思考，如何制作神奇的魔力卡？魔力卡的“魔力”在哪里？其中包含了什么樣的數學知識？它與“猜姓氏”“猜年齡”等游戲有沒有相通之處？文章對這些問題做了深入探討。

關鍵詞：魔力卡;游戲;思考

游戲與數學學習有著密切的關系，因為它們之間具有類似的元素和結構。許多數學來自現實生活中所呈現的量的變化與關系，并由此抽象純化而成。許多游戲也是如此演變而來的。游戲中的智力活動，往往和數學學習所要運用的智力活動十分相似。在一次吃肯德基快餐的時候，店員送了我一張游戲卡——奇奇魔力卡，它的游戲說明如下：

道具是一張主牌和十張有孔的副牌（如圖1所示）。

1.請對方在主牌中選擇一個圖案，默記在心。

2. 請對方確認每張副牌是否有其他選擇的圖案，如果有，請將牌放在左邊，如沒有則將牌的背面向上放在右邊。

拿起主牌正面朝向自己，同時將右邊的牌拿起，直接疊加于主牌的上面，這時從孔中就會顯示出對方所選擇的圖案了。

實習時，課外活動中這個游戲吸引了許多小學生的興趣，他們紛紛參與其中，而當試驗百發百中時，她們顯出異常驚訝的神色，于是迫切地希望自己也能夠制作這樣的游戲卡。在學生強烈的求知欲望下，我被這個游戲的“魔力”迷住了，并進行了如下幾點的思考：

■一、如何制作一張“數字”魔力卡。

根據對應的思想，與主牌圖案對應的數字依次記為1到9，把副牌也用相應的數字填上，如圖2所示，則一張“數字”魔力卡制作完成。讓對方心中想1到9中的一個數字，按照相同的方法就可以實現“魔力”效果。

■二、為什么用十張副卡就能實現這樣的效果？能不能減少或增加副卡的張數？

熟悉游戲之后不難發現：在做游戲的時候，10張副卡中至少有兩張副卡上沒有對方心中所想的數字，將這些回答“沒有”的卡片反過來重疊起來，中間的孔便是對方想要的數字了，如果把這些副卡共同挖去的部分稱為交叉點，那么將這種方法不妨取名為“交叉點算法”。

我們把挖去的孔用線段來表示，十張副卡挖去的部分構成的圖形可以用圖3簡要表示。如果少掉一條線段，那么就有一個方格沒有兩條線段通過，就少了交叉點，從而無法確定是哪個數字，所以不能減少副卡的張數。

如果副卡數增多了，游戲是可以進行的，圖4給出的是用12張副卡實現效果的簡圖。所以當猜測的數字個數是9個時，副卡張數可以從10到12。

■三、同樣用十張副卡，可以有變化嗎？

根據思考二，很快可以得出同樣是十張副卡，設計方案是可以變化的，如圖5中的簡圖所示。

不僅如此，為了使玩家不發現其中的小秘密，讓游戲更有趣，不顯得那么呆板，在確定了副卡中挖去的兩個孔后，其他七位數字可以任意打亂它的位置，也就是打亂“奇奇魔力卡” 副牌上的圖案位置。

■四、怎樣揭示“奇奇魔力卡”里面隱藏的數學秘密？

數學上經常采用的方法是通過減少元素的個數來發現規律。于是考慮從簡單的4個數據開始思考，可以這樣設計游戲卡（見圖6）：

得出提供4個數字猜其中的一個數字時，只要4張副卡就可以玩這種游戲。

當用線段表示挖去孔的位置，圓點表示要猜的那個數字時，設計的卡可以用圖7來表示，類似地，如果提供9個數字猜其中的一個數字時，可用圖8來表示，如果提供16個數字猜其中的一個數字時，可用圖9來表示，如果提供25個、36個數字猜其中的一個數字時，可用圖10、11來表示。

也就是，構成的這些正方形中，當它的邊長上小圓點的個數為偶數（大于2）時，所要設計的副卡最少的情形是在“口”字外面加“口”字;當正方形邊長上小圓點的個數為奇數（大于1）時，所要設計的卡片最少的情形是在“日”字外面加“口”字。

■五、“魔力卡”游戲與“猜姓氏”“猜年齡”的游戲有沒有相通的地方？

在找規律的過程中，我不由得想起了“猜姓氏”“猜年齡”的游戲，這些游戲不也是通過讓玩家先看卡片，然后根據回答卡片上“有”或“沒有”來判斷出玩家姓什么，玩家多大。這些游戲看起來似乎很神，事實上里面都只藏了一些簡單的數學知識。想到這里，我找到了玩“猜姓氏”游戲的方法和原理。原來“猜姓氏”“猜年齡”的游戲都可以用二進制來解釋，用n張卡片就可以制作出2n-1個姓氏或年齡的游戲了。那么“奇奇魔力卡”的游戲也可以用二進制來嘗試嗎？

首先，對魔力卡游戲，用二進制的方法可以這樣制作：把主牌上的9個圖案分別對應于數字1-9，四張副牌分別記為牌（3）（2）（1）（0），將數字1-9“翻譯”成二進位制數，即數字1可化為0001，數字2可化為0010，數字3可化為0011，數字4可化為0100，數字5可化為0101，數字6可化為0110，數字7可化為0111，數字8可化為1000，數字9可化為1001，那么卡片（3）上包含數字8、9，卡片（2）上包含數字4、5、6、7，卡片（1）上包含數字2、3、6、7，卡片（0）上包含數字有1、3、5、7、9，然后根據玩家的回答來猜測結果，但是，我們不難發現，4張卡片上出現的數字個數不相同，看上去也不美觀，起不到讓人感覺這個游戲有什么好玩之處。我想，這也許是肯德基沒有用二進制的方法制作這個游戲的原因。但是如果將數字1-9擴展為1-15，卡片數仍是4張，所提供的數字個數就滿足24-1=15這個式子。這樣就可以保證每張卡片上出現的數字個數相同，看起來也舒服些，有“玩”的樂趣了。我們將數字10轉化為二進制1010，數字11化為1011，數字12化為1100，數字13化為1101，數字14化為1110，數字15化為1111，這時卡片（3）上包含數字8、9、10、11、12、13、14、15;卡片（2）包含數字4、5、6、7、12、13、14、15;卡片（1）包含數字2、3、6、7、10、11、14、15;卡片（0）包含數字1、3、5、7、9、11、13、15，每張卡片都含有8個數字。為了不使別人看出其中的奧秘，將每張卡里的8個數字打亂順序，游戲就被披上神秘的面紗。這樣，做游戲時，先讓參與者選擇自己想要的食物，然后默記在心，接下來對他出示四張卡片，看看卡片（3）（2）（1）（0）上是不是有他想要的食物，通過回答“有”“沒有”來確定顧客要的是什么。如我想要可樂，只要尋找卡片上是否有自己想要的食物，依次回答卡片（3）上“沒有”，（2）上“沒有”，（1）上“沒有”，（0）上“有”，列式23×0+22×0+21×0+20×1，計算出數字1，與數字1對應的食物就是可樂，這時你可以自豪地對顧客說：“您要的是可樂。”顧客一定會覺得太神奇了。

肯德基用一張小小的智力卡來招攬顧客，吸引小朋友，他們創造了豐富多彩的游戲，并不斷更新游戲，當肯德基推出的品種更多時，讓孩子們選擇的游戲方式更加豐富、更加有趣，肯德基團隊的這種創新精神值得我們去學習、去思考。如果我們平時能養成善于發現，勤于思考，敢于創新的好習慣，那么數學學習將不再枯燥！