邏輯品質：數學推理的應有之義

周莉

摘? 要：數學推理是學生適應終身發展和未來社會發展的關鍵能力，也是現代社會公民必備的品格。數學推理應當具有推理證據，應當引導學生經歷推理的全過程，促進學生對論點進行反思。通過數學推理，積累學生數學活動經驗，提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

關鍵詞：小學數學;數學推理;邏輯品質

數學推理是數學的基本思想，也是學生數學思維的基本形式。東北師范大學史寧中教授曾經這樣說過：“學生的數學核心素養主要有三，抽象、推理與建模。”引導學生在數學學習中積極地推理，能有效地發展學生的關鍵能力。從推理形式上看，推理主要分為兩大類，即合情推理與演繹推理。無論是合情推理還是演繹推理，都必須具備邏輯性的品質。換言之，數學推理應當具有推理證據（論據），應當引導學生經歷推理的全過程（論證）。作為教師，應當將數學推理教學貫穿數學教學的始終，從而有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。

■一、立論的證據：數學推理的原點

數學推理是學生適應終身發展和未來社會發展的關鍵能力，也是現代社會公民必備的品格。所謂“推理”，就是學生能根據若干個舊命題來推出、確定新命題的思維過程。因而，“論據”應該而且必須是數學推理的原點。教學中，教師首先要引導學生對推理對象進行分析，從而把握問題的核心、本質，引導學生用數學語言對推理對象進行數學化的提煉、概括，進而不斷地提升學生的數學推理品質。

在數學教學中，教師要引導學生發掘推理資源，從推理資源中尋找推理的證據。一般來說，演繹推理是從大前提、小前提出發的，因而這種大前提、小前提就構成了學生推理的證據。即便在合情推理之中，學生的猜想也不是無緣無故的，而是有根有據的。如在“不完全歸納推理”之中，其推理的根據就是部分例子;在“類比推理”之中，其推理的根據就是兩個對象在某些方面的相似性、共同特質。如教學“比的基本性質”（蘇教版數學六年級上冊），教師就可以引導學生進行類比推理。學生根據除法、分數以及比之間的關系，即被除數相當于分子、相當于比的前項，除數相當于分母、相當于比的后項，除號相當于分數線、相當于比號，根據除法的商不變的規律、分數的基本性質，能夠猜想出“比的基本性質”。這就是一種類比推理。類比推理有助于發展學生由此及彼、由表及里的數學觀察、猜想能力。在學生提出猜想之后，教師可以引導學生進行舉例驗證，這些例子又構成了學生“不完全歸納推理”論證的論據，盡管這些論據是不完整的，但是通過“類比推理”與“不完全歸納推理”的有效結合，足以論證命題的科學性、真理性。

論據是數學推理的原材料，具有充分的價值。作為教師，要引導學生抓住對象、問題的本質，對問題、對象等進行深度剖析，讓論據真正成為學生數學推理的有力載體、媒介。只有在論據充分的基礎上，學生才能進行推理，才能提出猜想，才能展開論證，才能進行觀察、分析、比較、歸納、演繹等數學化的活動。

■二、過程的論證：數學推理的關鍵

學生推理能力的形成、發展是在推理論證過程中實現的。論證是數學推理的關鍵，也是數學推理的核心。在論證的過程中，教師要賦予學生數學推理的空間，引領學生經歷數學推理的過程。在論證的過程中，要引導學生思考、探究，發現推理對象之間內在的邏輯關系。作為教師，既可以引導學生進行類比猜想、不完全歸納猜想，引導學生進行演繹論證或實驗論證，等等。

比如在教學“平行四邊形的面積”時（蘇教版五年級上冊），不同的學生基于不同的論據，提出了不同的數學猜想。有學生認為，平行四邊形的面積等于底乘斜邊，因為平行四邊形可以推拉成長方形，其中長方形的長相當于平行四邊形的底，長方形的寬相當于平行四邊形的斜邊;有學生認為，平行四邊形的面積等于底乘高，因為平行四邊形可以剪拼成長方形，剪拼后的長方形的長相當于平行四邊形的底，剪拼后的長方形的寬相當于平行四邊形的高。兩類觀點看似都有道理，都有立論的根據。為此，筆者就引導學生展開實質性的論證，引導學生將平行四邊形放置在方格圖之中，讓學生用最為原始的方法“數方格”進行論證。在驗證的過程中，部分學生經歷了自我否定的過程。這個否定的過程，是學生進行推理證明和推理證偽的雙重過程。一方面，學生認識到，平行四邊形在推拉成長方形的過程中，面積發生了變化，而平行四邊形在剪拼成長方形的過程中，面積沒有發生變化，因而平行四邊形推拉成長方形不能用作平行四邊形面積公式的猜想論據，而平行四邊形剪拼成長方形可以作為平行四邊形面積推理的論據;另一方面，學生通過將平行四邊形剪拼成長方形，比較、轉化前后的圖形，經由演繹推理，得出了平行四邊形的面積公式。在演繹推理的過程中，學生主動展開圖形觀察、圖形度量、圖形操作、圖形變換等活動。因此，論證的過程就是學生數學學力提升的過程，也是學生數學核心素養悄然發展的過程。

論證是一種具有實證精神的科學性活動。學生的論證能力既存在著年齡特征，又表現出個體性的差異。伴隨學生年齡的增長，學生的論證能力會不斷地增強。學生不僅會正向論證（證明），還會反向論證（反證或證偽）等。作為教師，要引導學生的數學論證，讓學生的論證水平能得到發展，甚至產生質的飛躍。

■三、論點反思：數學推理的核心

傳統的數學推理教學，往往在學生通過過程論證之后，就引導學生將論點（包括數學的定理、定義、規律、公式等）進行運用。其中少了至關重要的一環，這就是論點反思。著名的數學教育家弗賴登塔爾說：“反思是數學的重要活動，它是數學活動的核心和動力。”論點反思，不僅僅是為了回顧論證過程的合理性、科學性，更為重要的是指向未來。通過反思，學生能認識到論點的科學性、價值性和意義性。

反思，是學生數學學習可持續性發展的根本條件。通過反思，學生對數學推理所形成的論點的理解會更深刻、更完善，對數學論點的把握也會更周全。比如教學“三角形三邊關系”（蘇教版四年級下冊），學生通過結構性小棒搭建三角形的實驗、歸納論證之后，學生建構了“三角形的任意兩條邊的和必須大于第三條邊”的結論性的論點。據此，筆者引導學生反思：這樣的結論性的論點，還可以怎樣表述？在深度研討之后，有學生說，“三角形的任意兩條邊的差必須小于第三條邊”;有學生說，“三角形的最長的邊必須小于另外兩條邊的和”;還有學生說，“三角形的最長的邊小于周長的一半”，等等。相同的論點，通過反思，形成了不同的表述方式，這些表述方式在解決問題時各具價值。比如已知一條線段長20厘米，如何將之分成有效的三段（整厘米數），使它們能圍成三角形？這樣的問題，學生運用“三角形最長的邊小于周長的一半”，就能迅速解決。

著名的教育家波斯納認為，“學生的學習是學習經驗加上學習反思”。在數學推理的過程中，教師要重視論據的發掘，重視引導學生進行有效的論證，重視學生對論點的反思。在引導學生進行推理的過程中，教師要引導學生感悟思想、發展思維，從而形成學生終身受益的數學思想方法，不斷地積累學生的推理經驗。