數學素養視域下比值審斂法的課堂教學實踐

趙建昕 毛俊超 李長文

[摘要]論文分析了數學素養的內涵、構成要素以及其行為表現，比較了傳統的課堂教學與數學素養視域下的課堂教學的不同，概括出數學素養視域下的課堂教學的三個主要特征：一是重視培養觀念成分數學素養中的整體現素養，加強知識結構的系統性，引導學生從整體性上認識數學的內容;二是重視知識成分數學素養中的關聯性和策略性知識教學，加強數學的思想性教學和數學思維的培養;三是重視精神成分的數學素養中的文化價值，加強數學教育的育人性。論文以此為指導，對正項級數的比值審斂法的課堂教學進行了教學設計，突出了該次教學內容中蘊含的化歸和類比數學思想方法以及辯證思維的設計，收到了滿意的教學效果。

[關鍵詞]數學素養;比值審斂法;數學思想方法;辯證思維;數學文化

[中圖分類號]G642.0

[文獻標識碼]A

[文章編號]2095-3437（2020）03-0086-03

數學兼具理科和文科的特質，這是其不同于其他學科的獨有特點。抽象、邏輯性強等特點賦予了數學難學的標簽，應用廣泛、基礎性特點又賦予了她工具的美譽。正是其后者被過于看重，數學課堂教學中出現了偏重于數學計算和數學應用的教育觀念，這種觀念下的教學必然將數學本身對人的價值觀、世界觀等的文化教育作用置若罔聞，忽視了數學抽象、邏輯性強對人的思維方面的訓練作用，忽視了數學對人的思想品質形成的教育價值。當然，隨著教育界對數學教育的本質回歸，越來越多的數學教育工作者嘗試在數學的課堂教學中轉變觀念，并在教學中不斷實踐數學教育的雙重性即工具性和教育性。

數學素養是近幾年出現的數學教育的名詞，代表著數學教育的新觀念和發展方向。如何在傳統數學課堂教學中培養學生的數學素養？除了需要轉變教學觀念，更需要對該觀念下的數學課堂有清晰的認識和界定。筆者在已有研究的基礎上，就數學素養的內涵和數學素養視域下的課堂教學的主要特征進行了研究，并結合近幾年的數學課堂教學經驗，探討正項級數比值審斂法的課堂教學實踐。

一、數學素養的內涵

數學素養的內涵和構成要素目前學界并沒有形成統一的、清晰的描述。文獻[1]認為數學素養是數學情感態度價值觀、數學知識、數學能力的綜合體現。文獻[2]認為數學素養是指經過數學教育和實踐發展起來的參加社會生活、經濟活動、生產實踐和個人決策所需的數學知識、技能、方法和能力，包括理解數學與社會的關系，理解數學的本質以及形成數學的情感態度和價值觀等。其基本的含義是指學生能夠合理地將所學到的數學知識運用到社會及個人生活中。文獻[3]認為數學素養是人們認識世界的一種數學特質，屬于認識論和方法論的綜合性思維范疇，它具有概念化、抽象化、模式化的認識特征。它是通過數學學習形成數學思想，培養數學思維能力，運用數學知識和方法解決實際問題所獲得的特質和修養，是數學的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體。這三個文獻的共同點就是認為數學素養是數學的知識、能力和情感態度價值觀的綜合體，是在數學的學習過程中培養起來的。文獻認為數學素養的構成要素包含數學運算、數學推理、數學意識、數學思想方法和數學情感態度價值觀，其中數學情感態度價值觀包括對學習數學有自信心，認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值，能感受到數學的精確性、抽象性、概括性、應用性、對稱性、統一性等。這為如何在數學課堂教學中落實數學素養的培養明確了教育的具體內容。

綜上可見，與傳統的課堂教學相比，數學素養視域下的課堂教學應包含數學知識成分、觀念成分和精神成分的數學素養。具體而言，數學知識成分的數學素養培育應突出數學的關聯性和策略性知識，加強數學思想方法教學和數學思維的培養。觀念成分的數學素養培育應重視知識結構的系統性，引導學生從全局上考慮問題，從整體性上認識數學的內容。精神成分的數學素養培育除了要豐富高層次的人文精神素養之外，還要孕育理性、求實、創新的科學精神素養，體現育人性。

二、數學素養理念下的課堂教學特征

與傳統的課堂教學相比，數學素養視域下的課堂教學概括起來應突出以下三個方面。

（一）重視培養觀念成分數學素養中的整體現素養，加強知識結構的系統性，引導學生從整體性上認識數學的內容

數學作為一門具有抽象性、邏輯性和應用性的學科，有著嚴密的科學體系和結構。建構主義學習觀認為學習的過程實質上是學習者在一定的外界環境下，在其原有認知結構上進行意義的自我建構的過程，即個體掌握知識的過程就是在大腦中建構認知結構的過程。可見，個體的知識結構系統越有序就越有利于檢索和利用，檢索的時間越短利用的效率就越高。因此，在教學中，教師應重視加強學生知識的系統化和結構化，使新舊知識、相關知識之間的關系清晰明確，讓學生能夠形成層次累積的認知結構，以提高知識的可分辨性和可利用性。

（二）重視知識成分數學素養中的關聯性和策略性知識教學，加強數學的思想性教學和數學思維的培養

數學的每個概念、知識點的產生，無不是充滿了數學家的聰明才智、智慧和創新，無不是蘊含著各類和各層次數學思想方法，有學科的具體思想方法如微積分中的微元法，也有歸納和演繹的較一般的思想方法，甚至還有量變與質變的哲學思想方法如定積分的概念。因此，在數學課堂教學中，教師在知識傳授和技能訓練的同時，要有意識、有計劃、有步驟地滲透數學思想方法，以提升學生的思維能力。要注重數學知識產生的過程、遇到的困難以及生成知識的思維啟迪，引導學生體驗數學問題的生成過程、問題解決的思維過程以及方法的思考過程等。

（三）重視精神成分數學素養中的文化價值，加強數學教育的育人性

數學除了具有工具性和基礎性作用之外，還有育人功能，具體體現在其理性求知、數學思維品質、普遍的思想方法和語言以及獨特的審美價值等方面。這是數學學科的隱性教育功能，對于學生形成良好的心智模式意義重大。這就要求數學教師對數學有一個不同于傳統科學主義數學觀的新認識，克服單一的和唯科學主義的數學觀的影響。要意識到數學具有豐富的文化和人文內涵，要有一定的人文和社會科學知識，要知道數學在自然科學中的應用，要了解數學在人文、社會科學中的價值。

三、數學素養視域下的課堂教學實踐

筆者以正項級數比值審斂法為例來探討數學素養視域下的課堂教學，以下是這種課堂教學設計的思路。

（一）定準比值審斂法的地位，構建系統的知識結構

級數理論是研究函數的重要工具，其中級數的斂散性是理論中的第一個重要概念。正項級數是一類特殊的級數，其斂散性是一般數項級數和冪級數斂散性判定的基礎，而正項級數比值審斂法是正項級數斂散性判定的重要方法，它回避了比值審斂法需要構造一個參考級數的困難，是利用自身的一般項特點構建的一種正項級數斂散性的判別方法。

（二）注重比值審斂法的形式演繹證明，訓練學生的數學語言

數學是一門科學的語言，是數學知識的載體。具有通用、簡捷、準確特點的數學語言是人類共同交流的工具之一，包含敘述語言、符號語言和圖形語言。比值審斂法判定方法的嚴格論證和對概念的精確表述利用了敘述語言和數學特有的ε-N語言，通過嚴謹的數學概念間的邏輯敘述，使學生體會到邏輯化數學思維的獨特魅力，逐步實現由學習數學語言到運用數學語言表達和提高解決相關實際問題的能力。

（三）板演比值審斂法的例題，訓練學生的數學基本技能

掌握正項級數的比值審斂法是高等院校數學教學大綱的基本要求。因此，教師在授課過程中，要為了讓學生能夠全面掌握比值審斂法的使用條件、適合解決的類型和不足等幾個方面的內容來設置例題，使學生真正掌握比值審斂法，實現提高相關基本技能的教學目標。

（五）解讀比值審斂法的結果，培養學生的辯證思維

數學哲理性知識蘊含于數學學科的知識體系之中，是具有哲學思想和哲學意義的數學知識，往往是表現數學思想最深邃的內容，因而也是教學最難挖掘的知識。數學哲理性知識是聚焦數學思維與哲學思維的結點，挖掘數學哲理性知識的數學活動過程本身具有極好的思維訓練價值，特別是對其間所使用的那些數學思想方法的哲學思考更富有文化教養功能。

比值審斂法的結論，可歸結為下表。

其二，隨著ρ值的變化，正項級數的性質發生了變化，這是哲學中量變與質變的辯證思維，ρ=1是邊界點。

其三，在上述兩點認識的基礎上，在級數的混雜區，鄰項比值極限構造的分類器，當ρ從1的左側趨向于1時，量變的積累使得分類器的辨別能力越來越差，以至于只有當ρ值大于1時，才能分辨出正項級數的性質變化。進一步思考可知，這個分類器來源于鄰項比值極限，如果增加鄰項的距離，如后項項數是k（n），前項項數是n，此時構造的分類器有否可能將正項級數的混雜區進一步分開，這樣的啟發必然會引起學生探索和學習數學的興趣，并讓其思維的觸角延伸到哲學層面，鍛煉其運用矛盾分析方法和哲學辯證思維，體味習得。

（六）閱讀比值審斂法的科學家歷史資料，感悟數學史中的人文精神

比值審斂法也稱達朗貝爾審斂法，圍繞著達朗貝爾一生的勤奮、與巴黎科學院的同行克雷洛的有序競爭所促進的流體力學的發展故事以及晚年表現出的對年輕學者拉普拉斯和拉格朗日的無私支持和幫助的故事，為學生提供參考文獻，引導學生閱讀文獻，體會達朗貝爾崇高的科學素養以及令人敬佩的無私奉獻的科學精神，在理想、道德和情操等方面給學生樹立榜樣，啟迪其深度思考，讓其終身受益。

四、結束語

通過分析數學素養的內涵、構成要素以及其行為表現，概括出數學素養視域下重視觀念成分、知識成分、精神成分的課堂教學的三個主要特征，并以此為指導，對正項級數的比值審斂法的課堂教學進行了教學設計，突出了注重基本理論方法的形式演繹、不同類型和難度的例題演練、基本理論方法的證明過程分析、基本理論的結果分析、數學家的思維過程再現以及課內和課外的閱讀相結合等方面，同時把側重點放在教學內容中蘊含的化歸和類比數學思想方法、辯證思維和課程思政的設計，收到了滿意的教學效果。

[責任編輯：龐丹丹]