讓“活動經驗”與“思維經驗”齊飛

周凌霞

[摘? 要] 在核心素養的理念下，高中數學的教學目標要實現“雙基”到“四基”的轉變. “基本活動經驗”是“四基”中的目標之一，其中包括“實踐經驗”與“思維經驗”. 要為學生設計數學基本活動，把“基本活動經驗”的培養滲透于活動教學之中，以此促進學生數學核心素養的提升. 基于此背景，對“兩角差的余弦公式”一課的教學進行了探究，希望能夠達到一定的借鑒意義.

[關鍵詞] 基本活動經驗;兩角差的余弦公式;教學設計;教學反思

在2017年版的《普通高中數學課程標準》中，首次明確地提出了“四基”目標，并強調“基本活動經驗”是開展數學學習的重要基礎. “基本活動經驗”包括“實踐經驗”與“思維經驗”，兩者分別對應的是“數學直觀”與“數學思考”. 在高中數學教學中，教師要為學生設計數學基本活動，要把“基本活動經驗”的培養滲透于活動教學之中，以此促進學生數學核心素養的提升. 以下，結合“兩角差的余弦公式”一課的教學，來談一談如何在課堂教學中為學生設計高效化的數學活動，以此幫助學生積累豐富的“基本活動經驗”.

■基于“基本活動經驗”的“兩角差的余弦公式”的教學設計

1. 激活原有認知，引發直觀想象

高中生在數學學習的過程中，是在原有的認知基礎上進行的，因此，教師要善于根據教學內容之前的前后聯系，引導學生進行復習回顧，以此激活他們的原有認知，并在此基礎上通過數形結合的方式引發他們的數學想象，以此培養他們的“直觀經驗”，為他們課堂上的新知探究找準“起點”.

在本課教學的第一環節中，筆者首先給學生呈現了圖1：

師：在初中的時候我們就已經學過了勾股定理. 根據這一幅圖，請說一說是怎么證明勾股定理的.

生：從圖1可以看出，四個完全一樣的直角三角形可以拼成兩個完全一樣的正方形. 在這兩個圖形中，陰影部分和空白部分的面積是完全相等的，由此得到a2+b2=c2. 這一種證明勾股定理的基本思想和方法是數形結合.

師：很顯然這種證明方法既嚴謹又直觀. （繼續出示圖2）

師：對于幾何圖形的度量以及計算，會涉及長度、面積以及角度等因素. 請同學們仔細觀察圖2，假設在直角三角形中，斜邊長為1，其中一個銳角為θ，基于勾股定理的證明思路，你能列出和θ相關的等式嗎？

生：sin2θ+cos2θ=1 .

針對勾股定理的證明，涉及幾何圖形的拼接割補，而且證明的重點是借助對幾何圖形的度量以及計算，實現對幾何關系的轉化，并以代數的方式進行表述. 在以上教學中，通過“以形證數”的方式能夠幫助學生進行直觀想象. 在幾何度量中不僅涉及長度、面積，還包括角度，所以雖然使用的是相同的圖形，但是以不同的代數能夠得出不同的表示，能夠幫助學生樹立數學的眼光，能夠以不同的視角觀察幾何圖形，發展其質疑能力，積累豐富的活動經驗.

2. 引導合作探究，獲得初步結論

“數學是思維的體操”，在高中數學教學中，培養學生的“思維經驗”是很重要的. 因此，教師要為學生設計自主化的數學探究任務，以此引導學生在合作探究的過程中積累“活動經驗”，促進他們“思維經驗”的提升.

在本課的教學中，筆者給學生設計了以下合作探究任務：如圖3所示，有兩對直角三角形，其斜邊長都為1，假設第一對直角三角形中的其中一個銳角為α，第二對直角三角形中的其中一個銳角為β. 請你根據勾股定理的證明思路，寫一寫與α，β相關的等式. （同桌互為一組，每人一對直角三角形）

在學生完成學習任務以后，組織學生進行交流展示，學生在交流展示的過程中得出以下結論：cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

這個探究問題是對前面第二個問題的變式，在經歷了層層深入的探究之后，學生再次親歷勾股定理的思維過程，基于幾何圖形積累發現數學結論的活動經驗，這樣不僅有助于提高幾何直觀素養，而且還能夠實現思維的拓展，使學生可以在這一過程中獲得更豐富的感悟，了解數學問題的產生以及發展，從而培養他們發現問題以及提出問題的能力.

3. 引導推導證明，推廣公式范圍

在前面的兩個環節中，學生基于勾股定理這一原有經驗，通過數形結合的方式得出了兩個角是銳角情況下的兩角差的余弦公式. 因此，在第三個環節中，筆者引導學生開展推導證明活動，把這一公式推廣至任意角，從而完善兩角差的余弦公式.

師：在前面的探究過程中，我們在定義銳角三角函數時，利用了直角三角形的三邊關系，利用直角三角形的拼接圖形驗證了以銳角為前提的兩角差的余弦公式，如果將它推廣至任意角，你認為應該怎么做？

生：可以借助單位圓模型. （出示圖4）

師：如圖4所示，應該如何在圖中表示α-β？

生：α-β=∠AOB.

師：你能夠聯系以前學過的與角的相關知識寫出它的余弦值嗎？請你先獨立思考，然后在練習本上寫一寫.

有的學生根據向量的相關知識寫出了∠AOB的余弦值即α-β的余弦值，并指出α-β要滿足0≤α-β≤π，結論才能成立;還有的學生根據誘導公式寫出了α-β的余弦值.

根據初高中階段針對三角函數定義的學習順序，先用直角三角形拼接成為幾何圖形，以此展開公式的探究與發現，在進行推廣研究證明時，再借助單位圓模型，這樣就實現了由特殊到一般的驗證過程，與學生的認知規律相吻合. 這樣的教學設計都突出強調了學生的數學思維活動，真正實現了由數學直觀成功地過渡到理性思維，有助于發展邏輯推理能力.

4. 設計變式練習，拓展探究空間

在高中數學教學中，學生通過自主探究獲得相應的數學公式以后，還要通過變式練習促進他們對獲得的探究結論進行內化，這樣，就能夠有效地拓展他們數學探究的空間.

在這一堂課的教學中，筆者給學生設計了這樣一道變式練習：有兩對直角三角形，其斜邊長都為1，將其拼成如圖5所示的矩形，其中空白部分（菱形）的面積所代表的含義是什么？

在這一道題中，給出了另外一種矩形的拼接方式，根據不同的角的標注，所探究的結果有兩種可能：一是兩角（銳角）差的正弦公式，二是兩角（銳角）和的余弦公式. 這一道題能夠為學生的思維形成一定的引領，使活動經驗得到進一步強化和積累，能夠為接下來其他公式的學習奠定良好的根基，具有典型的開放性特點，能夠有效地培養學生的創新思維.

■基于“基本活動經驗”的“兩角差的余弦公式”的教學反思

1. 培養“實踐活動經驗”要重視“數學直觀”

在學習三角公式的相關知識的過程中，對學生而言，常常更關注公式的實用性，這是對其理解過程的極大忽視. 本課的教學設計選擇了與眾不同的視角，將具體的學習過程置于初高中階段的龐大知識體系中，以學生的認知發展規律為核心，緊扣幾何圖形設計實踐活動，其中既包括創設情境、探索發現，也涉及課后探究作業等諸多教學環節. 當然，在探究過程中，也需要進行變式處理，這樣才能真正有助于豐富并強化學生的實踐活動經驗. 實際上，對于每一個幾何圖形而言，都體現著相應代數所代表的幾何意義，而這有助于學生深化對公式的理解，能夠為其積累豐富的活動經驗，在發展數學直觀素養、推導數學結論等諸多方面都具有顯著的促進意義，能夠使學生在自然的狀態下主動地習得知識.

2. 培養“思維活動經驗”要重視“數學推理”

以已有知識解決問題的過程，都應當有助于發展學生的數學思維，特別是在公式的推廣與證明方面，切不可急于求成，而應當設計具有引導性的問題，以此點燃學生思維的火花，促使其展開深度思考，更要與其“最近發展區”相接近，使學生能夠自然地展開探究，發現嚴謹的證明思路. 在公式的應用中，不能僅限于教材例題，而應當設計變式或者題組，由繁至簡，層層深入，這樣才能夠使學生已經積累的解題經驗逐步歸一，才有助于其完善數學思維體系、豐富活動經驗.

總之，在高中數學教學中，不僅要關注對學生“實踐活動經驗”的培養，也應當重視對學生“思維活動經驗”的培養，因為這是“基本活動經驗”的兩個重要構成部分，而且與其他“三基”之間也存在著緊密聯系，只有多管齊下，才有助于促進學生數學核心素養的全面提升.