觸發認知本原 建構數陣模型

陳卓英

[摘要]數學練習題是學生學習數學知識、體驗數學價值的重要載體，而教材中的每一道習題的編排都蘊含著編者深思熟慮、寓意深刻的意圖。在準確把握教材編寫意圖的基礎上，教師應該合理取舍、補充或調整教材內容，以便揭示數學本質，建構數學模型，從而有效達成教學目標。

[關鍵詞]習題教學;認知本原;數陣模型

[中圖分類號]G623.5??[文獻標識碼]A??[文章編號]1007-9068（2020）02-0024-02

【人教版教材一年級下冊第63頁中的思考題】

對于該題，大部分學生通過嘗試都能正確解答，但筆者認為教學不應僅僅停留在學生能夠正確解答，而應觸發學生的認知本原，建構這一類題的數學模型。為此，筆者展開了如下教學。

【教學描述】

一、瞻前——欲識廬山真面目

人教版教材一年級下冊第63頁中的思考題呈現的是數陣圖，是小學奧數中比較重要的一個知識點，把它放在一年級對學生來說其實有點難。細細分析后發現，編者只是希望通過一些簡單的填數字游戲，鞏固學生對整十數連加的應用。不同的學生會有不同的填法，讓學生用自己喜歡的方法來巧填數字，可以培養他們的思維能力，學有余力的學生還能初步感知到什么是數陣。教師可以引導學生去找尋數陣的簡單規律以及填數陣的基本方法，通過找數陣中的關鍵數來找到解題的鑰匙，并能把這種方法靈活應用到實際中去。

在教此題之前，教師要對學生的學習基點有個完整的了解。教材在一年級上冊第64頁的練習十三中還呈現了這樣一道思考題（如圖2）。不難發現，圖1和圖2這兩道思考題有著諸多聯系。學生若是理解了圖2思考題中的算理，定能為解答圖1的問題帶來幫助。

二、潛心——兩山排闥送“清”來

1.初識數陣，學會配對

師（出示圖2）：把0?9這十個數填入□里，使等式成立，實際上是在分組，每兩個一組，配對填數，保證每對的和相等。

師：請你著把這十個數分成5組，要求每組的和相等。

（學生嘗試）

生1：0+9=1+8=2+7=3+6=4+5。

師：你發現了什么？

生1：這些和都等于9，好像在做9的組成。

生2：最小的和最大的為一組，然后從兩頭向中間湊成一對一對的，剛好和都相等。

師：你們的發現都很棒！學會配對的方法對我們接下來的學習很有幫助。

師：一些數規則地排成一定的圖案，如十字形、三角形、人字形等，這樣的數字陣叫作數陣圖。（出示圖3）

師：請仔細觀察，數陣圖有什么特點？

生3：數陣圖中每行每列的和都相等。

生4：數陣圖中有個數要重復用兩遍。

師：你們都有雙善于發現的眼睛。這個重復用的數，我們叫它“中心數”或“重疊數”，它在數陣中起著舉足輕重的作用。它既在橫行上，又在豎列中，運算時要算兩遍。

師：剛才是給10個數，正好配成5組。如果給你10、20、30、40、50這五個數呢？（出示圖1）你該如何配對？

生5：可以配成2對，10+50=20+40，還多一個30。

師：那這個30剛好放哪里？

生6：中心數。

師（教師把“30”板書在中間的圓內，如圖4）：你們覺得配好對的這些數填到哪個圓內能符合題意呢？試著填填看。

（學生操作后反饋;如圖5）

師：填對了嗎？我們一起來驗證。

生7：10+50+30=90，20+40+30=90，90=90，正確。

師：填的時候有什么竅門？

生8：配成一對的兩個數要放在同一條直線的兩端。

師：說得很好。還有別的配對方法嗎？

生9：我的配對方法是10+40=20+30，還多一個50。

（學生操作后反饋;如圖6）

師：還有嗎？（展示最后一組情況并驗證，如圖7）

2.深入數陣，提煉方法

師：剛才大家通過獨立思考、合作交流，得出了三種符合題意的結果。請思考得出這三種結果的解題過程有什么共同點？

生10：先定“中心數”，再配對，然后填入圖中，最后驗證結果對不對。

師：既然這個“中心數”很重要，那找一找，我們選的“中心數”都在這串數的哪個位置呢？

生11：可以選擇這串數中最中間的那個數作為“中心數”，也可以用最小數或最大數作為“中心數”。

我們可以用幾句歌謠來總結填圖的方法：

數陣圖，有技巧。

中心數，是關鍵。

挑頭去尾取中間，

首尾成雙面對面。

三、顧后——唯有身在此山中

通過以上教學，學生對簡單的數陣圖的模型已經有了基本的建構，基礎模型至關重要，但模型的變式也必不可少。于是，筆者在課后安排學生獨立練習數陣圖，題目難度雖略有提升，但學生掌握得還不錯。

題1.把1、2、3、4、5、7分別填入〇里，使每一個大橢圓上的四個數之和等于13。

在這六個數中，有兩個數是公共的，那么剩下的四個數兩兩相加應該相等。觀察1、2、3、4、5、7，1是公共數，而2+7和4+5都等于9，因此剩下的3也應該是公共數，2和7、4和5應該分別填在這兩個圓的左邊和右邊，經檢驗，每個大橢圓上的四個數之和等于13。

題2.把1、2、3、4、5、6、7這七個數分別填入〇里，使每條直線上的三個數相加的和都為12。

觀察發現，在1?7這七個數中，除去中間的“中心數”，剩下的六個數兩兩相加應該相等，經驗算，當“中心數”是4時，1+7=2+6=3+5=8，8+4=12。

“中心數”由一個變成兩個，配對由兩組變為三組，但萬變不離其宗，“中心數”的確定是關鍵，只要確定了“中心數”填幾，別的空格就簡單了。充分的變式拓展，使學生在練習中深化理解了數陣圖。

【實踐反思】

數陣圖類的問題可以培養學生思維的靈活性。對于一年級的學生來說，旨在數學學習中發展數感、感受幾何直觀，能通過觀察、嘗試及驗證，進行適當推理，并有序地思考。回顧整個教學過程，對于這道思考題的處理，筆者力求做到：

一、觸發本原，新舊溝通

學生遇到題目無從下手時，教師應從學生已有的經驗出發。比如簡單的數陣圖里隱含著加減運算、整十數連加、數字配對等很多知識點，溝通新舊知識的內在聯系很重要，教師就要找準知識間的聯結點。筆者以教材的一道思考題作為切入口，引出合理配對在數陣中的作用，給學生解決新問題提供了有力的支撐。

二、分解難點，拾級而上

分解難點，讓學生有據可循，從而降低認知難度。從雙數配對到單數配對，從而引出“多出的那一個叫‘中心數或‘重疊數”，確定了“中心數”，數陣圖的問題就迎刃而解了。最后總結的歌謠符合低段學生的學習特點，能夠培養學生學習的興趣。

欲識廬山真面目，惟有身在此山中。只有瞻前顧后設計教學，才能成功建構數陣模型。