范希爾理論下的幾何思維困境及其教學突破

紀定春?周思波

摘 要 范希爾理論是幾何教學基礎理論。對范希爾理論作了簡介，分析了中學生范希爾幾何思維水平及困境，針對中學生幾何思維困境，給出如下突破對策：用全面表征幾何圖形、細化幾何要素分析、強化幾何圖形關聯、規范幾何表達、注重語言轉換等策略，實現分析水平到非形式演繹水平的突破;用自然推理嚴謹化、幾何推理符號化、理解邏輯思維及構成要素、強化概念和命題網絡、優化幾何認知結構等策略，實現非形式演繹水平到演繹水平的突破。

關鍵詞 范希爾理論 思維困境 幾何教學 教學突破

幾何教學是數學教學的重要組成，范希爾理論是中學幾何教學的基礎理論，對提升學生的幾何素養具有理論價值與實踐意義。該理論于20世紀50年代由荷蘭數學教師范希爾夫婦在研究幾何教學時提出。隨后，首先被蘇聯教育界接受，并用于幾何課程設計，讓學生幾何思維水平顯著提高。此后十年，美國學者開始關注范希爾理論。如今，范希爾理論已被世界數學教育界公認，并成為教材設計、教材對比研究、師生思維測量、幾何與非幾何教學設計等的理論基礎。眾所周知，范希爾幾何思維水平具有進階性，即不能直接從低水平直接跳躍到高一級思維水平。為更好實現兩相鄰思維水平間的過渡，先對范希爾理論作簡介，然后分析目前中學生的范希爾思維水平與困境，最后結合范希爾思維水平特點，給出突破幾何思維困境的教學策略。

一、范希爾理論簡介

范希爾夫婦在幾何教學中發現，學生、教材和教師幾何思維水平不同步。受美國學者皮亞杰認知發展階段論的啟發，提出了學生幾何學習的5水平思維，即[1]：水平0—視覺（visuality）：能用整體輪廓辨圖，能用不標準名稱描述圖形，但不能用圖的特征、要素來分析和概述圖形;水平1—分析（analysis）：能分析圖形要素及特性，并用于解決幾何問題，能將幾何分類，但不理解圖形定義，不能解釋特性間及圖形性質間關系，無法推公式及用正式定義;水平2—非形式演繹（informal deduction）：能建立圖形內部或圖形間性質的聯系，能用定義、定理等作自然語言上的演繹推理，但大腦中未形成有條理的概念系統;水平3—形式演繹（formal deduction）：能充分理解邏輯證明中的因果關系，能建立定理間的邏輯關系，能提出猜想并用演繹法證明猜想;水平4—嚴密性（rigior）：學生能分析比較不同幾何公理系統，能理解不同幾何系統下各定理間的邏輯關系，以及在某系統下解題時的邏輯嚴密性。

20世紀80年代，范希爾將5思維水平并為3思維水平，即直觀、描述和理論水平[1]。直觀水平（visual level）：能整體認識幾何對象;描述水平（descriptive level）：通過幾何性質認識幾何對象;理論水平（theoretical level）：利用演繹推理證明幾何關系。盡管兩種思維水平的界定無本質區別，但目前仍以5水平劃分方式運用較多，本文也采用5水平思維劃分方式。

二、范希爾幾何思維水平測量與思維困境

1.范希爾理論下的幾何思維水平測量

王紅兵[2]設計了一道幾何開放題，對南京市初中畢業生范希爾思維水平進行調查及分析，結果表明學生思維多處于水平2，其次是水平1，最少是水平3，并指出高水平的幾何思維不穩定、思維瑕疵多。王寬明[3]用范希爾理論，對學生范希爾思維水平與推理能力的關系進行了研究，結果表明學生范希爾思維水平與推理能力呈正相關，學生思維水平主要處于水平2。黃興豐等[4]對蘇南某市7～9年級學生幾何思維的發展做了研究，結果表明7年級學生有少數達到水平3（非形式演繹）以上，其余學生思維水平較均勻地分布在1-3水平。通過初中幾何學習，9年級學生的思維水平明顯提高，50%以上達到水平3，但仍有較多學生未能從水平2跨到水平3。黃興豐等[5]利用范希爾理論，測量了高三學生空間幾何思維水平，結果表明學生幾何思維水平0和水平1得到充分發展，盡管90%以上學生達到水平2（非形式演繹），但屬中低水平，未達到高水平的非形式演繹水平，75%的學生達到水平3（形式演繹），但仍是低水平的。

通過文獻分析，結論如下：1、幾何思維水平總體不高，學生幾何思維主要集中在水平2（分析）和水平3（非形式演繹）;2、同水平差異大，盡管學生幾何思維達到同一水平，但存在低、中、高之差異，且主要集中于中、低水平;3、思維不穩定，分析過程呈較高水平，但解答過程呈低水平，高水平思維持續時間短;4、思維水平間跨越較難，存在思維困境;5、幾何思維水平與推理能力呈正相關。

2.范希爾理論下的幾何思維困境

從目前測量結果看，大部分學生范希爾幾何思維水平在水平2，較多停留在水平1，一部分學生達到水平3，但高水平的思維不穩定，并暴露出思維瑕疵。通過學生幾何思維的分布來看，學生的幾何思維從分析到非形式演繹，以及從非形式演繹到形式演繹的突破，都存在較大思維難度，表現為測量結果的思維斷層。范希爾認為，學生幾何思維的發展是有先后順序的[6]，即只有達到前一水平，才會跳躍到后一水平。Guti&rez等[7]引入向量表示范希爾幾何思維，并將每個水平分為5個連續階段，分別為未獲得、低水平獲得、中水平獲得、高水平獲得以及完全獲得，并用定量的數值區間刻畫學生在每個水平上的發展狀況。這將范希爾思維水平的每個水平進行再細分，相當于用更精確的尺子來測量學生幾何思維水平。再此，為方便表述，不妨將未獲得和低水平獲得稱為前水平，將中水平獲得稱為獲得水平，將高水平獲得和完全獲得稱為后水平。接下來，將結合上述分析，分別給出從分析水平到非形式演繹水平，以及從非形式演繹到形式演繹的突破策略。

三、分析后水平向非形式演繹前水平的突

破策略

當學生范希爾幾何思維處于分析獲得水平，此時能描述圖形部分特征，但不清楚這些特征間關系。當學生范希爾幾何思維處于非形式演繹前水平，學生能初步建立圖形內部或圖形間性質的聯系，但這種聯系較弱，能用定義、定理等作自然語言上的演繹推理，但語言描述不夠準確和完善。為更好實現兩水平間的過渡，則需要促進圖形整體認識，細化幾何要素，強化圖形關聯，完善語言表達，于是給出如下教學對策。

1.全面表征幾何圖形

表征，指研究對象在人腦中的呈現和反映。圖形表征，指幾何圖形在人腦中的呈現和反映。豐富的圖像表征，是促進學生的幾何思維從感性認知到理性認知的基礎。全面表征圖形，就要從整體到局部和局部到整體的觀察、分析、辨別圖形特點，讓幾何研究對象在人腦中更全面、更豐富的呈現和反映。例如，在學習三角形高的概念時，先以銳角三角形的高為例，很多學生只會作由一個頂點引出的高，不能將高的定義遷移到其余兩邊上，這時需要教師刻意引導學生表征三角形的整體概貌，讓學生對三角形三邊的地位有更深刻認識，即認識到三角形三邊的地位“平等”或“等價”，那么一個三角形就有三條高。再讓學生經歷觀察、分析、嘗試作高、用高的定義檢驗是否為三角形的高。然后，將銳角三角形換成是直角三角形和鈍角三角形，發現直角三角形有兩條高恰好直角邊，而鈍角三角形有兩條高在頂點所對底延長線上。通過對三角形高的全面表征，學生就形成了對三角形高更全面、深刻的認識。

2.細化幾何要素分析

要素，一般指構成對象的成分。要素分析，即分析要素內部及之間的聯系和區別。在幾何中，幾何要素主要指構成幾何對象的成分。例如，在學習三角形時，要充分分析三角形的構成要素，明確三角形是由“角”和“邊”兩種要素組成。分析不同幾何要素之間的關系，如角和邊之間的對應關系，角大小與邊長度之間的關系，即大角對大邊，小角對小邊。分析同要素間的關系，如三個內角和、外角和的數量關系，構成三角形需滿足三邊的不等關系等。通過對要素內部及之間的分析，可讓學生弄清三角形的組成要素及各要素間的關系，更能理解要素間是如何相互作用的。

3.強化幾何圖形關聯

關聯，分為內部與外部關聯。幾何圖形常存在內部關聯又具外部關聯，外部關聯多表現為定義的不同。對一個對象下定義的方式有很多，但下定義需遵循四條規則，即：定義要相稱、定義不循環、定義要簡明、定義一般不用否定形式。例如，小學階段所學的正方形、長方形、平行四邊形、梯形、四邊形等，學生可能無法直接將其串聯。則需教師借助下定義（“屬+種差”）的原理來構建圖形間的關聯。平面上的四邊形，可分為凸四邊形和凹四邊形。在凸四邊形中，加不同限制條件，可定義正方形、長方形、平行四邊形和梯形等。凸四邊形所包含內容更豐富，而被定義的正方形、長方形、平行四邊形和梯形等是滿足某些限制條件的圖形。凸四邊形為被定義圖形的上位概念，而被定義項是凸四邊形的下位概念，它們之間是包含與被包含、一般與特殊的關系。這樣分析，學生就可明確圖形的定義與被定義間的關系，進而明晰圖形間的關聯。

4.規范幾何表達，注重語言轉換

每門學科都有自己獨特的語言系統，幾何也不例外。幾何語言，指用幾何術語來描述幾何對象的語言。幾何語言包括文字、符號、圖形等語言。幾何語言是傳遞幾何信息的媒介，在幾何學習中具有重要作用。信息加工理論研究表明，語言表達能促進新信息從短時記憶進入長時記憶，并能加深對新信息的理解。因此，在幾何教學中要注重幾何語言的表達，讓學生分析、描述幾何對象。而幾何語言的精準性直接影響學生對幾何對象的認知，因此幾何語言的表述一定要準確和清晰。如，教師可讓學生先說，再及時糾正，糾正后再讓學生復述，這樣有利于培養學生精確的幾何表達能力。腦科學研究指出，復雜心理活動需要大腦兩個半球協同工作，如閱讀、思考、記憶存儲和提取等。大腦左半球負責對認知對象的語義加工，右半球主要負責對圖片的加工，然后在大腦中形成對對象的表象和意象。例如，當提及圓，大腦呈現的可以是圓的標準方程、一般方程、參數方程、極坐標方程，也可以是圓的圖形，即由圓心和半徑所確定的圖形，亦或圓的定義等。圓的定義就是幾何語言中的文字語言;標準方程、一般方程、參數方程和極坐標方程是符號語言;當提及圓的定義（概念）在頭腦中反映的是一個圓的表象，則是圖形語言在大腦中的表征。在問題解決中，問題呈現性態未必有利于問題解決，往往需要幾種語言間的切換，以方便問題解決。幾何語言的相互轉換，不但可優化大腦協同工作的品質，而且對全面表征幾何，促進問題解決等都具有重要

價值。

四、非形式演繹后水平向形式演繹前水平

的突破策略

學生范希爾幾何思維處于非形式演繹后水平和形式演繹前水平之間，此時學生能建立圖形內部及圖形間性質的聯系，能使用定義、定理等做自然語言上的演繹推理，但未形成邏輯的概念系統。學生不能充分理解邏輯證明中的因果關系，也不能建立定理間的邏輯關系。因此，為實現非形式演繹后水平向形式演繹前水平的過渡，給出如下教學對策，即自然推理嚴謹化、幾何推理符號化、理解邏輯結構與要素、概念命題網絡化。

1.自然推理嚴謹化

劉京莉[8]研究表明，學生范希爾幾何思維與幾何推理能力呈正相關。因此，要重視幾何推理素養的培養。當學生幾何思維處于非形式演繹后水平與形式演繹前水平之間，已能用自然語言演繹推理，但這種推理不嚴謹，邏輯不嚴密。因此，該階段的教學要將學生自然語言上的演繹推理嚴謹化，并將推理過程用規范的幾何語言表述。很多時候，學生在幾何證明的嚴謹性上出問題，如邏輯混亂、條件與結論顛倒、論證過程含糊不清等，但讓學生來分析，可發現學生的解題思路沒問題，這是自然語言上的非形式演繹推理向嚴謹的演繹推理過渡存在問題。由范希爾理論可知，學生幾何思維的發展與教師幾何語言的運用直接相關，即可通過教師的幾何語言來提升學生的幾何思維水平。因此，在幾何教學中，教師要注意幾何用語的嚴謹性，并引導學生用嚴謹的幾何術語表達幾何對象，用嚴謹的推理過程來論證幾何，進而逐步實現推理嚴謹化。

2.幾何推理符號化

符號化是數學發展的基本特征，是進行抽象思維的基礎。符號是思維操作的對象，是進行思維活動的現實心理基礎。幾何推理方式較多，如自然推理、圖形推理、理論推理等。自然推理一般指用普通語言描述、解釋和論證的及時表現，是偏重分析、口語化的推理方式;圖形推理是借助視覺的、直觀的和構造的描述性推理過程;理論推理，即演繹推理，是借助概念、定義、命題、公理、定理、假設等為基礎，并每步嚴格按照這些基礎來進行形式化論證的方式。這里的幾何推理符號化，主要指理論推理過程符號化。幾何學習，不僅是幾何概念、命題等的學習，更是幾何學這門學科語言、推理形式、論證方法等的學習，也是幾何符號、幾何論證、幾何推理等的學習。幾何語言、符號、概念等是人腦進行幾何深度思維的基礎，只有掌握好幾何語言、符號、概念等，才能有效地用幾何的眼光看世界，幾何的思維思考世界，幾何的語言描述世界。因此，在幾何推理和論證過程中，要強化幾何推理符號化表達。

3.理解邏輯思維及構成要素

理解是學習的起點，理解是新信息與已有結構中的（舊）信息建立非人為聯系。所謂邏輯，簡單講就是按照一定規則，有先后順序做事。邏輯一般分為形式邏輯（數理邏輯）和辯證邏輯，在數學中，絕大多數是形式邏輯。數學是思維的科學，也是講邏輯的科學，因此要理解數學，首先要理解邏輯思維及要素。數學的概念、判斷和推理是邏輯思維的三大基礎，其中概念是邏輯思維最基本單元，因此概念可視為邏輯思維的細胞。正如布魯納所講，要掌握一門學科，就是要掌握這門學科的核心概念。數學概念是指數學的本質特征、數量關系、空間結構等在人腦中的反映。要形成對數學概念深刻認識是困難的，如點、線、面等概念，是對現實對象理想化抽象的概述，這些概念具有高度抽象性，學生需經歷復雜的心理過程，才能形成概念的正確理解。判斷，主要是利用肯定或否定語句來明確對象真偽（還包括全稱、特稱和單稱判斷），它是邏輯思維的紐帶。如果不能通過定義、概念、命題等的組合進行判斷，那么推理過程就無法進行。推理是思維最高形式，概念構成判斷，判斷構成推理。可見，判斷是概念和推理間的橋梁。因此，在教學中先讓學生理解邏輯，理解邏輯思維及要素，這樣可為學生的邏輯推理打下基礎。

4.強化概念和命題網絡，優化幾何認知結構

概念是思維的細胞，是學生思維生長發育的基礎。數學中，把用符號、語言或式子等表達的，可用來判斷真假的陳述句稱為命題。認知結構，是人將所認識的信息組織起來的心理系統。簡單講，認知結構指能有效組織信息的一種心理能力。當學生幾何思維處于非形式演繹和形式演繹水平之間，學生不能建立定理、概念、命題等間的邏輯關系。研究表明，一個擁有良好CPFS結構的學生，對數學本質的理解更深刻。個體的CPFS結構，指在數學學習中學習者在頭腦中形成的概念域、概念系、命題域、命題系，CPFS結構是對數學知識表征的一種刻畫、是數學學習特有的認知結構[9]。強化幾何概念和命題的網絡聯結，其目的是優化學生CPFS結構，讓學生形成良好幾何認知結構。一個良好的幾何認知結構，能更好促進學生對幾何信息的有效組織，在問題解決中，能以最優、最快的方式找到問題解決方案。那如何促進學生CPFS結構的生成呢？關于數學命題的教學，喻平教授指出，可通過揭示命題形成過程、進行命題變式、形成命題網絡、加強命題應用等策略，幫助學生形成完善的命題域和命題系[10]。除此之外，揭示數學命題的方式很多，如命題背景，包括現實背景、數學背景、應用背景等;命題發現方式;命題論證過程;命題構成要素;命題蘊含的數學思想等。對于概念，可從概念產生;概念發展;概念應用;概念推廣;概念內涵與外延等來構建概念域和概念系，進而優化學生的幾何認知

結構。

參考文獻

[1]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2]王紅兵.針對初中畢業階段學生范希爾幾何思維水平的調查及其分析[J].數學教育學報，2018，27（03）.

[3]王寬明.八年級學生幾何推理能力與幾何思維水平相關性研究[J].教學與管理：理論版，2013.

[4]黃興豐.7～9年級學生幾何思維水平的發展：來自蘇南C市的調查[J].數學通報，2013，52（06）.

[5]黃興豐.高三學生空間幾何思維水平發展的調查研究[J].數學教育學報，2016，25（02）.

[6] UsiskinZ.VanHie Levels and Achievement in Secondary School Geometry[M].Chicago：Unversity ofChiago，1982.

[7] Gutiérrez，Angel;Jaime，Adela;Fortuny，José M.An Alternative Paradigm to Evaluate the Acquisition of the Van Hiele Levels[J].Journalfor Research in Mathemtics Education，22，（3）.

[8]劉京莉.學會用數學語言表達幾何邏輯思維過程[J].數學通報，2007，46（05）.

[9]喻平.個體CPFS結構與探究問題能力的關系研究[J].數學教育學報，2006，15（03）.

[10]喻平.CPFS結構與數學命題教學[J].教育研究與評論，2016.

[作者：紀定春（1995-），男，四川資陽人，四川師范大學，碩士生;周思波（1971-），男，四川廣元人，四川師范大學，副教授，碩士生導師，碩士。]

【責任編輯 劉永慶】