數學深度教學的課堂要素

左浩德?郭嬋嬋

摘 要 為扎實理解的教學（Teaching for Robust Understanding，簡稱TRU）項目基于培養學生深刻理解數學思維的目的，將高效課堂的基本屬性總結為數學內容、認知需求、公平獲得、身份認同感，以及形成性評價等五個維度。TRU的課堂評價和改進工具有助于一線教師改善課堂教學。

關鍵詞 TRU 數學課堂 深度教學

一、引言

深度教學是培養學生數學核心素養的重要途徑，重視引導學生更清晰、深入、全面、合理的思考[1]。數學課堂是師生互動最多的情境，如何在其

中滲透深度教學的理念是需要關注的重要問題。關于數學課堂教學的理論成果汗牛充棟，但高深理論難以融入實際教學仍是常見難題。數學課堂教學的形式化、模板化導致了“為深度而深度”、“表面上熱鬧，實際沒有收獲”的現狀。因此需進一步審視數學深度教學需要什么樣的課堂、怎樣以友好方式讓一線教師將深度教學理念滲透在數學課堂中。

培養學生數學核心素養的目標是使學生慣用數學思維來思考，有深度的數學課堂教學應更注重 “如何做”“為什么”，而非簡單機械的“是什么”。深度教學的理念與美國學者Alan Schoenfeld發起的為扎實理解的數學教學（Teaching for Robust Understanding in Mathematics，簡稱TRU-Math）研究不謀而合[2]。該項目探究了數學教學應重點關注什么，怎樣的課堂環境能幫學生成為淵博靈活的思考者和學習者，教師如何創造更有效的課堂環境等方面的問題[4]，從數學教學的目標（Why），有效課堂的要素（What），教師或教育研究者如何使用（How）等三個維度提供了有效數學課堂教學的框架。

盡管有學者已介紹了TRU的框架以及評分標準[3]，Schoenfeld本人于2018年也在第三屆華人數學教育大會（上海）中做了相關報告，但該框架依舊被我國的一線教師冷落。TRU在數學課堂教學理念和實踐等層面都體現了深度教學的目標，有助于改善數學課堂教學，因此本文將介紹TRU的目標、框架和工具，以期提供有價值的參考。

二、TRU的目標——數學深度教學

能夠使所有學生在數學課堂上有機會掌握豐富的數學知識、能夠靈活地數學地思考，是TRU項目的研究目標。TRU框架認為學生學習數學并不是對知識或步驟的記憶、重復和演練，因此，數學課堂教學不能滿足于灌輸給學生一系列數學知識或步驟的表面功夫，而應達到使學生理解各個概念或主題背后的聯系、數學學科的基本思想之深度。這體現了深度教學的宗旨——讓學生在課堂中體驗像數學家一樣思考的過程。

深度教學首先需要教師對數學知識的深刻理解。教師關于“學生應該怎樣理解數學”的觀點，很大程度反映在課堂教學的目標和實施過程中[5]。因此，教師在授課前就應深入思考數學中各個主題之間的互相聯系和基本思想，除此之外，還需要對學生的學習心理有較好的把握。在此前提下，TRU研究提出深度課堂教學的五個維度，包括數學內容、認知需求、公平獲得、歸屬感和身份認同感，以及形成性評價[6]。TRU遵循培養學生用數學思考的原則，刻畫了數學深度課堂教學。從綜合的角度來看，如果課堂教學能夠按照這五個維度去設計或實施，那么學生在這樣有深度的學習環境下，將成為有學識、靈活和機智的思考者和學習者。從分析的角度來看，每個單獨的維度都是教師專業發展中應關注的焦點，在教師教育過程中，應專注于系統地改進每個維度。那么，怎樣闡釋這些維度的含義？如何將其應用于教學？以下將就這兩個問題具體分析。

三、TRU框架——有效課堂的要素

在數學課堂中進行什么樣的活動才能發展學生的數學能力？TRU認為優秀的深度課堂教學在以下五方面為學生提供了好的學習環境，即數學內容，認知需求，公平獲得，歸屬感和身份認同感，以及形成性評價。需要明確的是，TRU框架并不規定深度課堂中應該發生什么，因為教學無定法。TRU的五個維度僅提供有效課堂的參考和方向。

1.數學內容

賦予學生數學思維是TRU的主要目標，學生在課堂上應體驗到連貫的、將有意義的解題過程和步驟符號化了的數學，而不是一系列被用來背誦的彼此孤立的事實、步驟和概念。例如，直角坐標系下直線的方程可表示為y=kx+b;Ax+By=C;

x/a+y/b=1，y-y0 / x-x0=m這幾種線性關系的不同形式，分別表示已知直線的任意兩個信息就可以決定其位置，互相之間能自由轉換。數學教學中需用聯系的觀點看待以突出知識的連貫性。這反映了深度教學從“知識點”走向“知識結構”的基本理念[7]。

知識問題是深度課堂教學中的關鍵，“知其所以然”的課程內容是必要前提。將數學知識作為需要死記硬背的步驟來教學，會導致學生的知識停留在淺層，思維固化等后果[8]。TRU提倡使數學知識深入而重點突出、具有連貫性和準確性，幫助學生理解數學實質。

2.認知需求

教師在幫助學生處理任務時不能削弱重要的數學內容，深度的數學課堂需滿足學生的認知需求。為此需找到平衡點，教師既能讓學生明白自己遇到了什么問題，又留下獨立思考的空間。深度教學的實現需經歷問題解決、知識運用、開拓創新的過程，如果教師將數學知識“填鴨”似地教給學生，則不能使學生深刻理解數學或形成良好的數學思維習慣。

3.公平獲得

該維度聚焦于數學課堂活動是否能使學生都參與有意義的實踐。學生所獲數學成就的高低與他們的學習機會有關[9]。學習機會差異的一個主要來源是教師講授知識的不同方式，即課堂教學的不同深度。在數學課堂中誰有機會真正參與到數學活動？所有學生都常有機會討論數學觀點嗎？每個學生都有鍛煉或者展示自己的機會嗎？每個學生都能用現有的知識理解遇到的問題嗎[6]？好的教師會選擇并設計一些任務的切入點，鼓勵所有學生參與到挑戰性的數學活動中[10]。

4.身份認同感

TRU框架的第四方面涉及學生的數學氣質和自我認同（Mathematical Dispositions and Identities），包括態度、信心、毅力、對數學的認識等。許多學生持有錯誤或消極的信念，如數學是被記憶而不是理解的，自己不擅長數學等[11]。深度教學關注學生的情感體驗，使學生在數學上認同自己，成為積極的數學思維者。

數學自我認同包括兩個方面，第一是自主性（agency），即個體做數學的意愿，源于認識到自己面對挑戰時取得的進展和對自己所得結論的信心。第二是權威性（ownership），指的是個體對自己推導的數學學科思想的自信。在賦予學生身份認同感的課堂中，教師能發現每個學生的優勢并借此幫助學生參與到學習共同體中去。

5.形成性評價

形成性評價引發學生的思考和回應，重視出現的誤解，并要求教師有目的地設計任務以評估學生的理解程度，再利用這些信息塑造課堂活動[12，13]。教師在評估學生理解程度的同時也得到了改良教學方式的機會，其后續問題、任務以及“下一步如何做”都是為了更深層次的課堂教學目標。此過程中教師關注學生的理解，因材施教式地教學，就可形成“更清晰、更關注重點和更有效的”深度教學課堂了。實施形成性評價時，學生會被要求在反思中表達自己的想法和收獲，這將使學生理解更透徹并將新舊知識相聯系。

TRU框架全面概括了深度數學課堂應具備的屬性，五個維度彼此緊密聯系成一個整體，共同作用于挖掘教師數學教學的深度，以及學生思考能力的清晰、深入、全面、合理，如圖1。

數學內容的選擇決定了是否滿足學生的認知需求，形成性評價是否具有好的切入點。公平獲得保證每個學生的數學身份認同感，認知需求以及恰當的形成性評價確保了參與的意義。

四、TRU在數學深度教學中的應用

TRU在教學設計、課堂教學評價、教學研究等實踐環節中均有其價值。理論上如果課堂教學能按TRU的五個維度設計實施，學生將有可能成為淵博睿智的思考者和學習者。但如果這些教育理論不能以一線數學教師能夠接受的方式呈現，其價值就無法體現。因此以一線教師能夠實際操作的語言和方式應用TRU的理論具有重要意義。

1.作為改善教學設計的工具

課堂教學隨時代發展變化，沒有絕對正確的課堂教學方式。TRU框架從備課和反思圍繞教學設計提出相應的問題。首先在備課階段，教師需要依情況選擇教學內容，TRU提供了一系列問題，以幫助教師審視對學生認知需求的滿足程度，如：為學生獲得重要思維提供了哪些機會？如何回應學生的努力并保證學生能發展自己的思維和理解？其次在反思階段，反思上一階段的完成度并繼續調整。TRU從各維度設計了有助于教師專業發展的工具，下表是身份認同感維度的工具。

2.作為聽課評課的工具

課堂觀察是教師提高專業素養的重要途徑，相關反饋有助于教師認識自身得失，實現深度教學目標。課堂觀察的反饋可來自不同角度， TRU針對不同維度設計了課堂觀察表。以下為形成性評價的課堂觀察表（表2）：

為所有學生闡述理解提供了哪些機會？對建立已揭示的思想有哪些機會？教師或學生如何抓住這些機會？哪些方面可以進一步提高？

目標：持續靈活地提供一些技巧和活動，讓學生能表達他們新出現的理解，并通過重新思考誤解及建立有效的觀點加強學生的學習。

從上表可見，形成性評價的課堂觀察師生的課堂表現并提供建議。TRU的五個維度彼此聯系，觀察者可以將其他相關維度的評價列在表中。

綜上，TRU描述了有效課堂的屬性，提供了研究課堂教學的框架和工具。教師借此計劃和反思教學，在教學評價中尋求反饋，將促使數學課堂向深度教學發展，學生在這樣的課堂中能夠實現更為清晰、深入、全面、合理的思考。

五、結語

TRU研究在追求培養學生數學思維習慣的宗旨下，致力于探究優質的深度教學課堂所具備的基本屬性。在多元文化的背景下，數學課堂具有多樣性，TRU在現有研究的基礎上，以培養學生數學地思維為出發點，體現了數學深度教學的目標。TRU將數學深度課堂的基本要素歸結于五個維度，并在某種程度證明了這個框架的完備性。這一思路類似于數學研究中的理性精神，將原本模糊復雜的系統，以結構的角度更清晰地刻畫出來，使得深度課堂教學不再是令一線教師無法厘清的概念。

盡管TRU項目是在西方文化的背景下針對西方課堂進行的，但該研究得出的評價工具，是一線教師在改進深度課堂教學中能夠理解且容易達到的。歷史總是告誡著今人：文化的交融互鑒推動著人類的進步，創造出無限的機遇與希望;拒絕融合與交匯的文明，只能在閉鎖的環境中迎來滅亡。作為文化自信的大國，中國歷來對外來文化擁有強大的吸收能力與兼收并蓄的胸襟。對于中國的教育研究者來說，源自于西方的TRU用數學的理性和批判性思維去研究數學課堂，也是值得借鑒的方面。用于啟迪未來的智慧，如能照亮前路，則不需要顧忌其出處。在世界政治經濟全球化，人類共同體逐漸成型，中國蓬勃發展、國力騰飛的今天，與時俱進地引入西方的TRU相關理論，將它與中國國情、教育界的現狀相結合，便可在數學乃至全學科的教學領域，擘畫出一幅美美與共、恢弘壯麗的全新圖卷。

參考文獻

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[作者：左浩德（1987-），男，江蘇揚州人，揚州大學數學科學學院，講師，博士;郭嬋嬋（1988-），陜西延安人，延安大學數學與計算機科學學院，講師，博士。]

【責任編輯 劉永慶】