利用軌跡求解三角形的最值和范圍問題

廣東省中山市中山紀念中學(528454) 李文東

三角形中的邊與角的最值和取值范圍問題，是高三復習過程中的難點，在高考中考查形式靈活，常常在知識的交匯點處命題，與函數、幾何、不等式等知識結合在一起綜合考查.我們知道三角形只要滿足三個條件，那么這個三角形就基本唯一確定了，而少于三個條件時，有些邊角、周長和面積就可以變化，從而就有了求這些量的取值范圍問題.這類問題的實質是將幾何問題轉化為代數問題，求解此類問題主要是要充分運用三角形的內角和定理，正弦定理，余弦定理，面積公式，基本不等式，三角恒等變形，三角函數的圖像和性質等知識，綜合性強，是解三角形問題中的難點.必要時可通過考察動點的軌跡的途徑，利用軌跡的思想數形結合地解決問題，往往能夠起到出奇制勝、化繁馭簡的目的，下面舉例說明.

一．動點軌跡為阿波羅尼斯圓

例1(2008 高考江蘇卷)求滿足條件AB= 2,AC=的?ABC的面積的最大值．．根據面積公式得，根據余弦定理得代入上式得

S?ABC=由三角形三邊關系有解得故當時，S?ABC取最大值

解法2考查動點C的軌跡，以AB所在的直線為軸，AB的中垂線所在的直線為y軸建立直角坐標，則A(-1,0),B(1,0)，設C(x,y)，因為，故化簡得： (x-3)2+y2= 8 (y0)，故C到AB的距離的最大值為從而

點評本題的背景是阿波羅尼斯圓： 設點A,B為兩定點，動點P滿足PA=λPB，當1 時，動點P的軌跡為阿波羅尼斯圓．本題也可以用海倫公式其中求解，但都不如軌跡的方法運算量少，簡單直觀！

變式等腰?ABC的腰……