賞析導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的七大景點(diǎn)

廣東省東莞市第一中學(xué)(523000) 孫傳平

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)最常用、最有效的工具，它在函數(shù)的應(yīng)用中到底隱藏著多少秘密呢？為此，有請(qǐng)同學(xué)們跟隨本文一起走進(jìn)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的七大景點(diǎn)，一探究竟.

景點(diǎn)1 迷人的極值點(diǎn)

極值點(diǎn)是刻畫(huà)函數(shù)局部性質(zhì)的一個(gè)重要概念，對(duì)它的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用，不少同學(xué)還很模糊，為此將其作為首個(gè)景點(diǎn)介紹給大家.

例1如圖1是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象，指出函數(shù)f(x)與f′(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).

圖1

解在點(diǎn)x1附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，所以點(diǎn)x1是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn); 同理，點(diǎn)x3是f(x)的極小值點(diǎn).在點(diǎn)x2附近的左側(cè)f′(x)單調(diào)遞減，右側(cè)f′(x)單調(diào)遞增，所以點(diǎn)x2是函數(shù)f′(x)的極小值點(diǎn);同理，點(diǎn)x4是f′(x)的極大值點(diǎn)，點(diǎn)x5是f′(x)的極小值點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)藏匿在該函數(shù)的單調(diào)遞增和單調(diào)遞減區(qū)間的銜接點(diǎn)處，或藏匿在其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象穿過(guò)x軸時(shí)的交點(diǎn)處(從上往下穿是極大值點(diǎn)，從下往上穿是極小值點(diǎn)).

例2(2016年高考山東卷)設(shè)f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x, a ∈?.

(1)略.(2)已知f(x)在x=1 處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解(2)函數(shù)f(x)在x=1 處取得極大值等價(jià)于其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x=1 左右附近區(qū)域單調(diào)遞減，且f′(1)=0.

由已知得f′(x)=lnx-2ax+2a,f′′(x)=-2a,x ＞0,滿足f′(1)= 0.當(dāng)a ≤0 時(shí)，f′′(x)＞0，這時(shí)f′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不合題意; 若2a= 1，即則當(dāng)x ∈(0,1)時(shí)，f′′(x)＞0，這時(shí)f′(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，不合題意; 若0＜2a ＜1，則當(dāng)時(shí)，f′′(x)＞0，這 時(shí)f′(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，不合題意;

若2a ＞1，則同理得f′(x)在上單調(diào)遞減，即f′(x)在上單調(diào)遞減，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

點(diǎn)評(píng)若x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，且f(x)在x0可導(dǎo)(下文我們默認(rèn)這一條件)，則其導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x0左右附近區(qū)域具有單調(diào)性……