一道幾何賽題的若干證法

廣東省深圳中學(xué)(518001) 邱際春

廣東省深圳市桂園中學(xué)(518008) 羅 芳

2019年廣東省中學(xué)生數(shù)學(xué)夏令營高中聯(lián)賽模擬試題二試中有如下一道幾何題：

題目如圖1，在凸四邊形ABCD的邊BC,AD上分別取點E,F，滿足以E為圓心過點B的圓與直線CD相切，以F為圓心過點A的圓與直線CD相切，證明： 直線AB,EF,CD平行或交于一點的充要條件是∠A=∠B.

圖1

本題以四邊形、圓為背景，考查三線共點與三點共線之間的轉(zhuǎn)化能力，是一道方法多樣、綜合性較強的試題.下面是廣東省數(shù)學(xué)會給出的參考解答：

證明如圖2，設(shè)直線BC與直線AD交于點G,直線AB與直線FE交于點H（若平行時視為交于無窮遠點），則

圖2

根據(jù)梅涅勞斯定理及其逆定理可知，直線AB,EF,CD平行或交于一點?H,C,D三點共線又直線HA截?GEF，于是由梅涅勞斯定理知比較上述兩式可得

設(shè)直線CD與⊙E,⊙F的切點分別為M,N,連接EM,FN，則BE=EM=CE ·sin ∠C，AF=FN=DF ·sin ∠D.將此兩式代入上式，得所以從而

因此，直線AB,EF,CD平行或交于一點的充要條件是∠A=∠B.

評注若從題目中包含的基本圖形來看，此題似乎由《近代歐氏幾何學(xué)》中第13 頁的定理[1]演變而來，將兩圓看成位似形還可進一步推出一些好的結(jié)論.

接下來，筆者擬從相似、面積、位似、根軸等角度進行探究，給出下面幾種證明方法.

另證一如圖3，不妨設(shè)直線AB與直線EF相交于H（若平行時視為交于無窮遠點），與⊙E交于一點L，直線CD分別與⊙E,⊙F切于點M,N,則直線AB,EF,CD交于一點?H,C,D三點共線.

圖3

注意到H,C,D三點共線? H,M,N三點共線?∠FHM= ∠FHN.下面只需證明∠ABC= ∠BAD ?∠FHM=∠FHN.

因為EL=EB，所以∠BLE=∠LBE.又因為

∠LBE+∠ABC=180°,∠BLE+∠HLE=180°.

所以∠ABC=∠HLE，所以

∠ABC=∠BAD ?∠BAD=∠HLE ??LHE∽?AHF.

因為EM ⊥ CD,FN ⊥ CD，所以EM ‖ FN，所以∠HEM=∠HFN.又注意到LE=EM,AF=FN，于是

故∠ABC=∠BAD ?∠FHM=∠FHN.

綜上所述，直線AB,EF,CD平行或交于一點……