對一類遞推數(shù)列單調(diào)性的思考與探究

安徽省天長中學(xué)(239300) 王 威

1 問題的提出

筆者在高三教學(xué)過程中遇到這樣一道探究遞推數(shù)列單調(diào)性的習(xí)題：

題目已知數(shù)列{xn}滿足猜想數(shù)列{x2n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.

為什么這個(gè)遞推數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成遞減數(shù)列? 其奇數(shù)項(xiàng)是否也單調(diào)? 筆者對這類問題產(chǎn)生了好奇，在幾何畫板中作出函數(shù)的圖象，由xn →f(xn)→xn+1→f(xn+1)，如圖1，不難發(fā)現(xiàn)，f(x)的圖象與直線y=x相交于點(diǎn)是遞減數(shù)列，{x2n-1}是遞增數(shù)列，且當(dāng)n →∞時(shí)，即那么這類問題是否有更一般的規(guī)律呢?

圖1

下面是筆者的點(diǎn)滴思考，不當(dāng)之處，敬請斧正.

2 幾個(gè)結(jié)論及典型例題

2.1 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且與直線y=x存在唯一交點(diǎn)P(x0,y0).數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??.

(1)若a1＜x0,a3＞a1，則a1≤a2n-1＜a2n+1＜x0＜a2n+2＜a2n ≤a2.

(2)若x0＜a1,a3＜a1，則a2≤a2n ＜a2n+2＜x0＜a2n+1＜a2n-1≤a1.

2.2 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，且與直線y=x存在唯一交點(diǎn)P(x0,x0).數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??.

(1)若a1＜x0,a3＜a1，則a2n+1＜a2n-1＜x0＜a2n ＜a2n+2.

(2)若x0＜a1,a3＞a1，則a2n+2＜a2n ＜x0＜a2n-1＜a2n+1.

下面用數(shù)學(xué)歸納法給出結(jié)論2.1(1)的證明，其他的可由讀者自證.

①n= 1 時(shí)，由于f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以a2=f(a1)＞f(x0)=x0,a3=f(a2)＜f(x0)=x0，即a1≤a1＜a3＜x0，結(jié)論成立.

② 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立，即a1≤a2k-1＜a2k+1＜x0，那 么當(dāng)n=k+ 1 時(shí)，由于f(x)在[a1,x0)上單調(diào)遞減，于是f(a1)≥f(a2k-1)＞f(a2k+1)＞f(x0)，即a2≥a2k ＞a2k+2＞x0.再次利用f(x)在(x0,a2]上單調(diào)遞減，可得f(a2)≤f(a2k)＜f(a2k+2)＜f(x0)，即a1≤a3≤a2k+1＜a2k+3＜x0，所以當(dāng)n=k+1 時(shí)，結(jié)論也成立.綜上可知，對于任意n ∈??，都有a1≤a2n-1＜a2n+1＜x0.同樣，不難得到x0＜a2n+2＜a2n ≤a2.

例1(2014 高考重慶卷理科第22 題節(jié)選)設(shè)a1=1,an+1=b,(n ∈??).若b=-1，問：是否存在實(shí)數(shù)c使得a2n ＜c ＜a2n+1對所有n ∈??都成立? 證明你的結(jié)論.

圖2

分析考慮f(x)=則an+1=f(an).易知f(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞減，且與直線y=x存在唯一交點(diǎn)如圖2.計(jì)算可得由結(jié)論2.1(1)可得故必存在實(shí)數(shù)使得a2n ＜c ＜a2n+1對所有n ∈??都成立.當(dāng)函數(shù)f(x)為增函數(shù)時(shí)，也可得到相應(yīng)數(shù)列的單調(diào)性.

2.3 函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，數(shù)列{an}滿足an+1=f(an),n ∈??.

(1)若f(x)＞x,則an+1＞an; (2)若f(x)＜x，則an+1＜an.

圖3

圖4

證明①當(dāng)n=1 時(shí)，a2=f(a1)＞a1，結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak+1＞ak，那么……