圓錐曲線中三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件

云南省彌勒市第一中學(xué)(652399) 孔繁文

圓錐曲線蘊(yùn)涵著許多神奇美妙的性質(zhì)，筆者對(duì)河北省滄州市2019 屆高三高考模擬考試3月聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(A卷)第20 題進(jìn)行了探究，得到了圓錐曲線中三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件.

一、試題呈現(xiàn)

題目已知圓的圓心為C1，圓的圓心為C2，一動(dòng)圓C與圓C1內(nèi)切，與圓C2外切.

(Ⅰ)求圓心C的軌跡方程;

(Ⅱ)當(dāng)過(guò)點(diǎn)M(3,1)的動(dòng)直線l與曲線C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A,B時(shí)，在線段AB上取點(diǎn)P，滿足點(diǎn)P是否在定直線上? 如果是，求出這條定直線;如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案(Ⅰ)圓心C的軌跡方程為;(Ⅱ)點(diǎn)P在定直線x+y=2 上.

二、試題的探究

本題著重考查圓和圓的位置關(guān)系，橢圓的定義，直線和橢圓的位置關(guān)系，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，向量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)，同時(shí)還考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想及綜合運(yùn)算的能力．筆者對(duì)(Ⅱ)進(jìn)行深入探究，得到了圓錐曲線中三點(diǎn)共線的一個(gè)充要條件．

命題1過(guò)橢圓Γ := 1 (a ＞0,b ＞0)外任意一點(diǎn)P分別作橢圓Γ 的割線PAB和切線PC,PD，切點(diǎn)分別為C,D，若Q是線段AB上的一點(diǎn)，則C,Q,D三點(diǎn)共線的充要條件是

證明依題意，設(shè)P(xP,yP),Q(xQ,yQ)，則直線PAB的方程為

(yQ-yP)(x-xP)-(xQ-xP)(y-yP)=0,其中(yQ-yP)2+(xQ-xP)20，于是由

消去y(或x)并整理得

或

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則

于是

另一方面，設(shè)C(x3,y3),D(x4,y4)，則直線PC的方程為直線PD的方程為因?yàn)镻在直線PC,PD上，所以所以直線CD的方程為即b2xP x+a2yP y=a2b2，所以當(dāng)且僅當(dāng)a2b2-b2xP xQ-a2yP yQ=0，即b2xP xQ+a2yP yQ=a2b2; 也即當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q在直線CD上，所以C,Q,D三點(diǎn)共線的充要條件是

命題2過(guò)雙曲線外任意一點(diǎn)P分別作雙曲線Γ 的割線PAB和切線PC,PD，切點(diǎn)分別為C,D，若Q是線段AB上的一點(diǎn)，則C,Q,D三點(diǎn)共線的充要條件是

證明與命題1 類似(略).

命題3過(guò)拋……