一道清華大學自招試題的解法探究及拓展

廣東省中山市濠頭中學(528437) 閆 偉

1.試題呈現與分析

例1(2019年清華大學自主招生考試第8 題)已知橢圓，過點F(2,0)的直線與橢圓交于A,B兩點，點C在直線x= 3 上，若?ABC為等邊三角形，求?ABC的面積．

試題分析題目結構清晰，以橢圓為背景，主要考查橢圓的焦點弦、幾何性質、直線與橢圓的位置關系，三角形的面積等知識以及轉化與化歸、數形結合等數學思想，突出考查學生邏輯推理、推理論證及運算求解等方面的能力，試題的思維過程和運算過程體現了能力立意的命題思想，較好地體現了對直線與圓錐曲線的核心內容和基本思想方法的考查，亦較好地檢測學生的數學素養和學習潛能.

2.解法探究

解法1(通性通法，少思多算)設直線l:x=my+ 2,A(x1,y1),B(x2,y2)，AB中點為N，聯立整理可得(m2+3)y2+4my-2=0,

易求得N點橫坐標

因為?ABC為等邊三角形，所以CN ⊥AB，即kCN=-m，于是

評注本解法通過設直線方程并聯立直線與橢圓結合韋達定理，再利用坐標表示弦長建立關于斜率的等式達到求解參數的目的，解題思路清晰，學生容易想到，但是運算較為繁瑣，要求學生提高數學運算能力.下面先給出兩個結論：

(1)設AB是過橢圓= 1 (a ＞ b ＞0)右焦點F的弦，直線AB與x正半軸所成的角為θ，則

(2)設橢圓焦點弦AB的中垂線交長軸于點D，則e為橢圓的離心率.

圖1

證明(1)如圖1所示： 過A點作直線的垂線于A1，由橢圓的第二定義知即化簡整理得同理得

(2)如圖1知

解法2(巧用結論，多思少算)設直線AB與x正半軸所成的角為θ，由題意知離心率根據上述結論正三角形的邊長|AB|=過A,B分別作直線x= 3的垂線，垂……