立體幾何情境中的最值問題

廣東省廣州大學附屬中學(510006) 曹 勇

近幾年全國卷越來越注重對立體幾何的考查，特別是選擇填空題中，立體幾何頻繁出現在試卷難度較大的12，16 題的位置，其中最值問題是非常重要的一個考查方向.最值問題綜合性較強，主要有幾何法和代數法兩個解題方向，幾何法側重利用平面幾何知識求最值，代數法側重利用函數求最值.本文總結了立體幾何情境中幾種主要的最值題型與解法，供同行參考.

一、平面展開求最值

例題1已知三棱錐P -ABC中，PA ⊥平面ABC，其三視圖是由三個直角三角形構成，如圖1所示，若點M,N分別在棱PB,PC上，則AM+MN+NA的最小值為( )

圖2

分析通過三視圖，畫出三棱錐P -ABC的直觀圖，空間中長度之和的最值問題，通常通過平面展開、旋轉，將幾段長度轉化到同一個平面，進而轉化為平面幾何中兩點之間距離最短問題，最后利用平面幾何知識計算得到答案.

解通過三視圖，畫出三棱錐P -ABC的直觀圖，如圖2所示，以?PCB為初始平面，將?PCA,?PBA分別沿邊PC,PB展開并旋轉，使之與?PCB所在平面共面，如圖3所示，則AM+MN+NA的最小值即為線段AA1的長，根據平面幾何知識所以所以AA1=6，即AM+MN+NA的最小值為6.

真題某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖4．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為( )

圖3

圖4

簡析此題為2018年全國Ⅰ卷考試題，求曲面上兩點之間最短距離，使用平面展開的方法，易得答案為

二、平面平移求最值

例……