探析兩直線斜率之和為零在圓錐曲線解答題中的命題思路*

福建省漳州市教育科學(xué)研究院(363000) 張兵源

在解析幾何的學(xué)習(xí)中，有一類試題經(jīng)常出現(xiàn)在解答題當(dāng)中.此類試題以直線與某種圓錐曲線相交為載體，而題目的條件或結(jié)論歸結(jié)為兩直線傾斜角互補(bǔ)，或者可轉(zhuǎn)化成為兩直線斜率之和的求解問題.此類試題所給條件一般不會(huì)直接告知兩直線傾斜角互補(bǔ)，而是變換表述形式，有些試題的表達(dá)甚至更為隱蔽，這就要求將題目所給條件進(jìn)行靈活的轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)向兩直線斜率之和的思維軌道上.

一、命題思路分析

思路一某條直線是某個(gè)角的角平分線.

此類題型的命題思路是從同一個(gè)點(diǎn)出發(fā)的兩條直線分別與圓錐曲線相交(各有一個(gè)交點(diǎn))，從而形成一個(gè)角，然后告知軸或者某條水平直線是該角的角平分線.運(yùn)用平面幾何的知識(shí)不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)兩條直線的傾斜角互補(bǔ)，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成斜率之和進(jìn)行求解.

例1(2013年陜西高考理科第20 題)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A(4,0)，且在y軸上截得的弦MN的長為8.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程.

(2)已知點(diǎn)B(-1,0)，設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P,Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn).

解析(1)軌跡C的方程為y2=8x，過程從略.

(2)如圖1所示，設(shè)直線l方程為y=kx+b,P(x1,kx1+b),Q(x2,kx2+b).聯(lián)立

得k2x2-(8-2kb)x+b2=0，由韋達(dá)定理有

因?yàn)閤軸是∠PBQ得角平分線，故直線PB,QB傾斜角互補(bǔ)，kP B+kP Q=0，即有

將(1)代入上式，化簡得

解得k=-b.此時(shí)直線l方程為y=kx-k，過定點(diǎn)(1,0).

圖1

圖2

例2已知橢圓= 1(a ＞b ＞0)與橢圓有相同的離心率，并且經(jīng)過點(diǎn)P(2,-1).

(1)求橢圓C1的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)Q為橢圓C2的下頂點(diǎn)，過點(diǎn)P作兩條直線分別交橢圓C1于A，B兩點(diǎn)……