基于波利亞解題理論求解2019年全國(guó)Ⅰ卷22題*

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 陳俊陽 黃曉湄

將曲線參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程的題型活躍在歷年高考的全國(guó)卷中，廣東考生近四年在理科卷第22 題的得分情況如下： 2016年平均分為6.71 分，2017年為5.27 分[1]，2018年為5.23 分，但2019年僅有3.53 分.得分大幅度下降的主要原因是參數(shù)方程的形式異于常規(guī)，涉及到難度較大的消參技巧[2]，導(dǎo)致部分學(xué)生無法形成正確的解題思路.美國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家波利亞提出的波利亞解題理論有利于解題思路的形成和問題的求解.本文將運(yùn)用波利亞的解題表給出的弄清問題、擬定方案、執(zhí)行方案、回顧反思的方法[3]，分析思路的形成過程，求解2019年全國(guó)Ⅰ卷第22 題.

一、原題呈現(xiàn)

題目(2019年高考全國(guó)Ⅰ卷第22 題)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為

(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程;

(2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值.

注記本文只針對(duì)(1)中求曲線C的普通方程進(jìn)行詳細(xì)剖析.

二、試題剖析

(一)弄清問題波利亞說：“如果學(xué)生還沒有弄清問題，就著手計(jì)算和做題，那就可能發(fā)生最糟的事了.對(duì)你所不理解的問題做出答復(fù)是愚蠢的.”因此，弄清問題是問題解決的基礎(chǔ).

1.未知量是什么? 曲線C的普通方程，即關(guān)于x,y的方程.

2.已知量是什么? 曲線C的含參數(shù)t的參數(shù)方程.

3.隱含條件是什么? 為防止出現(xiàn)多解或漏解的情況，應(yīng)當(dāng)考慮x,y其中之一的取值范圍，

(二)擬定方案

擬定方案是幫助我們發(fā)散自身思維、探索解……