2019年高考北京卷理科第18題的探究與推廣

廣東省湛江一中培才學(xué)校（524037） 魏 欣

一道高考解析幾何試題的命題背景可能就是圓錐曲線的一個性質(zhì)定理的特殊情況.如果掌握了定理的原理，也就把握了試題的本質(zhì).對一些典型的試題，不應(yīng)滿足于會解，可以引導(dǎo)學(xué)生深入探究試題背后的知識背景，挖掘問題的本質(zhì).這樣才能真正找到解決問題的方法，學(xué)會用更高觀點去看待數(shù)學(xué)問題，把握問題的本質(zhì).正如《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)探究性課題學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生圍繞某個數(shù)學(xué)問題，觀察分析，自主探究，提出有意義的數(shù)學(xué)問題，探求適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)結(jié)論或規(guī)律.以下是引導(dǎo)學(xué)生從2019年高考北京卷理科第18 題出發(fā)，探究圓錐曲線的性質(zhì)，揭示問題的本質(zhì).

一、試題展示與評析

題目(2019年高考北京卷理科第18 題)如圖1所示，已知拋物線C:x2=-2py經(jīng)過點(2,-1).

(Ⅰ)求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程： (Ⅱ)設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0 的直線l交拋物線于兩點M,N，直線y=-1 分別交直線OM,ON于點A和點B.求證： 以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點.

圖1

解(Ⅰ)將(2,-1)代入x2=-2py，得22=-2p×(-1)，即p= 2.所以拋物線C的方程為x2=-4y，準(zhǔn)線方程為y=1.

(Ⅱ)證法一如圖1，直線l過拋物線C的焦點F(0,-1)，并交于拋物線C于M,N兩點，所以直線l的斜率必存在.設(shè)直線l方程為y=kx -1 (0),M(x1,y1),N(x2,y2).由整理得x2+4kx-4=0.則從而，y1+y2=k(x1+x2)-2=-4k2-2, y1y2=直線OM,ON方程分別為則設(shè)以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的定點坐標(biāo)為D(0,n)，則因為故解得n= 1 或n=-3.故以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點(0,1)和(0,-3).

證法二同證法一，可得AB的中點為

則以AB為直徑的圓的半徑為且其圓心為AB的中點(2k,-1).故以AB為……