基于變式教學的中學數學有效教學研究

劉慶

[摘? 要] 新課改風向標下，數學教學以提升思維的數學觀為依據，提出基于變式教學的數學教學理念. 基于變式教學具體實施的案例研究，文章從變式教學的基本理念和主要意義、注意事項談起，詳細闡釋了變式教學的實踐過程，為更進一步推進提供線索.

[關鍵詞] 高中數學;變式教學;知識結構;思維能力

■問題的提出

新課改實施以來，盡管數學課堂教與學發生了巨變，但一些問題仍然是存在的. 主要表現在：大部分一線數學教師兢兢業業地傳授數學知識，但教學效果卻堪憂. 造成低效學習的原因是什么呢？“灌輸式”教學占據主要地位，教師單向傳授，學生被動思考，這是其一;“就題論題”式講授及處理例習題的方法單一，使得學生的思維能力無法得到有效培養，這是其二;“題海戰術”這樣的機械性練習彌漫整個高中教學，學生的學習負擔越來越重，學生的學習興趣下降，學習效果可想而知，這是其三.

那么，如何提升學習效果呢？以“變式教學”為載體的教學方式也許能在一定程度上解決上述問題，促進課堂教與學的平衡.

■變式教學的基本理念

與變式相關的論述，教育心理學中多次給出了意見，但均一致性地認為“變式即對象正例的變化”，所謂“變式教學”就是教學過程中，或變更概念中的非本質特征，或變換問題條件、結論，又或是轉化問題的形式、內容，進而又意識地引領學生從“變”中找尋“不變”，從“不變”中探究“變”的規律[1]. 可見，無論是對教學而言，還是對學生的發展而言，變式教學都有著非常重要的意義.

■變式教學的主要意義

1. 以變式滲透概念，激發興趣

課本中，某些概念較為抽象，倘若教師直接出示概念，學生自然覺得突兀費解，而變式教學的出現正好是對概念本質的剖析，通過變式與相關概念的結合，在不斷變化概念的非本質屬性和反復呈現概念的本質屬性中，使學生準確生成概念，起到完善概念結構的有益補充. 因此，教師可以根據概念的類型，創設生動的教學情境，設計有效的變式，不僅能使學生準確獲取概念，還能由變式中情境的生動和趣味，激發他們濃厚的學習興趣.

例如，學習“指數函數概念”時，可以提出如下變式：

①一張白紙，將它重疊后一剪為二，再重疊后剪成兩半，再重疊后再剪一次……那么，剪完3次后所有的紙疊放在一起，一共有多少層？剪5次呢？剪15次呢？

②若這張紙的厚度是0.1mm，那么剪了15次后，將所有的紙疊在一起，會多高呢？有一個人那么高嗎？剪20次，又有多高呢？

③請試著建立“紙張數y與剪紙次數x”之間的函數關系式. （最后提出，生活中隨處可見這樣的函數，適時出示概念）

又如，等差數列中的深化變式：已知等差數列{an}中，有a■=9，a■=3，求a■.

推廣1：已知等差數列{an}中，有a■=n，a■=m（m≠n），求am+n.

推廣2：已知等差數列{an}中，有S■=100，S■=10，求S■.

推廣3： 已知等差數列{an}中，有Sm=n，S■=m（m≠n），求Sm+n.

學生變式： 已知等差數列{an}中，有S■=10，S■=100，求S■.

該變式從特殊到一般地進行推廣，以建立已有經驗與抽象概念間的聯系，充分激趣的同時，使學生印象深刻并形成知識網絡. 不僅如此，這里的變式教學還強化了學生的數學概念意識，有助于學生在面對這一類高考試題時能夠舉一反三，輕松應對.

2. 以變式預設錯誤，思維嚴謹

學生的思維只有在反復地鍛煉中才能得以深化. 因此，在進行概念、公式、定理等的教學中，教師可以多角度地改變概念來預設學生的錯誤，以凸顯其中的一些關鍵之處，從而深化學生對細微處的理解，養成嚴謹思維的習慣.

例如，學習函數奇偶性的定義，為了深化定義中的“定義域關于原點對稱”等問題，筆者引入以下變式題組：

判斷以下函數的奇偶性，并逐一闡明原因：

（1）①f（x）=-■，x∈R且x≠0;

②f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1];

③f（x）=-■，x∈[-1，0）∪（0，1）;

④f（x）=-■，x∈（0，+∞）;

（2）①f（x）=■;

②f（x）=■.

為了使學生深化對定義內涵和外延的認識，除了出示定義的過程中反復強調以外，還可以反例和錯例的辨析等形式設置變式題組，使學生多方位、多角度和多層次進行分析，從而發現問題癥結所在，以達到融會貫通的目的. 以上變式題組中，第（2）組是易錯問題，不僅需考慮到函數的定義域，還需化簡后才能得以判斷，通過這一類問題的辨析，可以提升學生思維的嚴謹性.

3. 以變式深化問題，拓展思維

面對時間緊、內容多、任務重的高三復習課的局面，闖出一條省時而有效的復習道路是每個高中數學教師關注的課題. 針對這一局面，教師需要加強變式訓練的力度，通過對一個問題的深入變式，引導學生去類比、去聯想，探索并確定問題的思考方向，深化學生的問題認識和理解，在更深入而透徹理解問題的本質的同時，增強應變能力，拓展思維，提升數學素養[2].

例1：已知定點A（-3，0）和B（4，0），若動點P（x，y）與A，B兩點構成的∠APB恒為直角，試求出點P的軌跡方程.

變式1：已知定點A（-3，0）和B（4，0），若分別過點A和B的動直線l■，l■相互垂直，試求出交點P的軌跡方程.

變式2：已知定點A（-3，0）和B（4，0），試求出動點P（動點P為垂足）滿足PA⊥PB時的軌跡方程.

深入挖掘本例可以看出，變式1和2與例1不僅意思相同，知識背景也一樣，而僅僅是在表達方式上有了變化，這里只需學生明晰“點P在以線段AB為直徑的圓周上”這一重要性質即可完善解題路徑，以此變式題組進行推廣和引申，達到多題一解的效果.

■幾個注意點

1. 適量性與適度性兼顧

變式教學中，教師需明晰變式并不在于多，關鍵在于精，要以具有典型性的變式去啟迪學生的思維. 倘若數量過多，則易異化為題海戰術，加重學習負擔，帶來負面影響;倘若數量過少，則無法實現預期效果.

除此之外，變式也不可過度濫用，需掌握好適度性原則，既不能難度太小，也不可難度過大. 倘若僅在原題的數字或符號上做文章，則無法激活學生的思維，耗時且耗力;倘若“變”出“繁、難、雜”的題型，來消磨學生有效的學習時間，則易使其產生挫敗感，無法生成高層次的思維.

唯有循序漸進地進行變式，并兼顧適量性和適度性原則，才能使學生在全面而深刻地理解知識的同時，發展思維品質.

2. 適度的訓練與適時的總結兼行

變式教學需要適度的訓練，以適度的訓練來展現其千差萬別的表現形式，以適度的訓練來豐富學生的知識系統，以適度的訓練來鍛煉學生的數學思維. 當然，變式教學中，除了適度的訓練，還必須有適時的總結. 適時的總結能讓學生概括出一般性的規律，擁有更多解決問題的策略，更加透徹地理解知識間的聯系與區別，實現知識的有效遷移. 因此，適度的訓練與適時的總結應兼行，通過適度的訓練，學生對變式背后的問題有了一定的理解;通過適時的總結，了解到知識的來龍去脈和相互關系.

總之，變式教學給數學教學帶來了勃勃生機，提升了學生的興趣，回避了“題海戰術”，提升了教學效率，引領學生去體驗“變”與“不變”，發現問題中的“變”與“不變”，使學生獲得了較好的數學體驗[3]. 只有這樣，學生的思維能力才能得到極大程度的鍛煉，才能更好地培養數學素養[4].

參考文獻：

[1]? 劉兵生. 高中數學變式教學的心理學淺議[J]. 中學課程輔導（教學研究），2013，7（24）.

[2]? 溫孫瑩. 讓數學課堂在“變式”中生成精彩——從習題的“變身”淺談變式教學[J].數學教學研究，2015（8）.

[3]? 王廣余. “變”中出“彩”——一堂高三復習課的教學實錄與點評[J]. 中學數學教學參考，2007（9）.

[4]? 胡水林. 情景引入、啟發誘導、變式探究、反思提高——高中新課程理念下數學課堂教學模式的探討[J]. 浙江教學研究，2007（3）.