“問題—探究”視角下高中數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)研究

劉政彪

[摘? 要] “問題—探究”教學(xué)模式是在新課標(biāo)的理念下，以教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，以情境問題為引領(lǐng)，以學(xué)生探究為中心的教學(xué)模式. 在參與學(xué)校“觀—議—磨課”實(shí)踐的基礎(chǔ)上，文章以高中數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)為例，研究了“問題—探究”教學(xué)模式的實(shí)施策略.

[關(guān)鍵詞] 問題探究;數(shù)學(xué)歸納法;教學(xué)研究

■引言

數(shù)學(xué)歸納法是人教版A版選修2-2第二章第三單元的內(nèi)容，是繼綜合法和分析法之后，進(jìn)一步學(xué)習(xí)的另一種直接證明的方法. 數(shù)學(xué)歸納法并不是歸納推理，而是在由歸納推理得到結(jié)論后進(jìn)行推理證明的演繹推理，一般用于證明與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，它的本質(zhì)特征是用有限的步驟證明無限的結(jié)論.

數(shù)學(xué)歸納法（第一課時(shí)）的教學(xué)重點(diǎn)是：借助具體實(shí)例理解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想;掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟;運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題[1]. 教學(xué)難點(diǎn)是：理解第二個(gè)步驟的作用，并能根據(jù)假設(shè)做出證明[1]. 由于數(shù)學(xué)歸納法的原理具有高度抽象性，如果教師在教學(xué)中對(duì)重點(diǎn)的定位不準(zhǔn)確，忽視原理的生成過程，過分強(qiáng)調(diào)學(xué)生機(jī)械模仿證題格式，則學(xué)生常常無法真正理解原理的基本思想和第二步證明的實(shí)質(zhì). 因此教師需要重視數(shù)學(xué)歸納法原理的生成過程，組織有關(guān)素材，創(chuàng)設(shè)具體問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極探索原理，使學(xué)生清楚數(shù)學(xué)歸納法的來龍去脈，感悟“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的思維方法.

■“問題—探究”教學(xué)模式

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題，引發(fā)學(xué)生思考與交流，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[2]. “問題—探究”教學(xué)模式是以教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，以情境問題為引領(lǐng)，以學(xué)生探究為中心的基于新課標(biāo)理念的教學(xué)模式. 有效的問題設(shè)計(jì)可以激活學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)內(nèi)容探究的主動(dòng)性和積極性，可以打開學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，學(xué)會(huì)自主學(xué)習(xí)、探究合作，主動(dòng)地運(yùn)用知識(shí)和方法去解決問題，收獲新知.

■“問題—探究”視角下高中數(shù)學(xué)歸納法（第一課時(shí)）教學(xué)實(shí)踐

本節(jié)課的設(shè)計(jì)從生活實(shí)例出發(fā)，類比游戲原理，以問題為主線、思維為主攻、學(xué)生為主體，將學(xué)生的探究從有限引向無限，再從無限回歸有限.

1. 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

本環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了三個(gè)問題情境并提出了四個(gè)主要問題：

問題1：一個(gè)盒子里裝有十根粉筆，如何證明里面的粉筆全是紅色的？

問題2：你知道“天下烏鴉一般黑”的結(jié)論是如何得到的嗎？

問題3：已知數(shù)列{an}，a1=0，an+1=■，請(qǐng)根據(jù)遞推關(guān)系式求出a■，a■，你還能猜想出什么結(jié)論？結(jié)論可靠嗎？

問題4：想得到可靠的結(jié)論，是不是要一一驗(yàn)證？

問題1和問題2的情境創(chuàng)設(shè)貼合生活，學(xué)生通過思考后容易理解并總結(jié)出兩種驗(yàn)證結(jié)論的方法：全部驗(yàn)證和部分驗(yàn)證. 問題3是與問題2情境相似的數(shù)學(xué)問題，既能激發(fā)學(xué)生探索的興趣，又能為新課學(xué)習(xí)預(yù)設(shè)立足點(diǎn). 通過這三個(gè)情境問題的探究，學(xué)生基本可以達(dá)成共識(shí)：全部驗(yàn)證所得出的結(jié)論是可靠的，因?yàn)榭疾炝藛栴}涉及的所有對(duì)象;部分驗(yàn)證得出的結(jié)論不一定可靠，因?yàn)橹豢疾炝藛栴}涉及的部分對(duì)象. 問題4帶出了本課研究的主題，不論是烏鴉問題，還是數(shù)列問題，都涉及了無限多個(gè)對(duì)象，我們不可能一一驗(yàn)證，那么有沒有一種方法可以通過有限的步驟就能證明無限的結(jié)論？進(jìn)而引發(fā)學(xué)生“心求通而未得，口欲言而未能”的憤悱狀態(tài).

線面垂直的判定定理也具有用有限步驟證明無限結(jié)論的特征，只需驗(yàn)證平面外的直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線（有限的步驟），就可以證明該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線（無限的結(jié)論）. 線面垂直判定定理的探究經(jīng)驗(yàn)將有助于本節(jié)課對(duì)數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)特征的理解.

2. 感悟生活，探究新知

為了實(shí)現(xiàn)多米諾骨牌游戲原理向數(shù)學(xué)歸納法原理的轉(zhuǎn)化，本環(huán)節(jié)共創(chuàng)設(shè)了三個(gè)問題情境和一系列“問題串”.

問題5：數(shù)學(xué)問題來源于生活，數(shù)學(xué)問題的解決也可以在生活中找到方法. 請(qǐng)觀看多米諾骨牌游戲的錄像并思考：要使得多米諾骨牌全部倒下需要哪些關(guān)鍵條件？

問題6：多米諾骨牌游戲告訴我們，只要保證兩個(gè)關(guān)鍵條件成立，不論有多少骨牌都可以全部倒下. 我們能否類比多米諾骨牌游戲的原理，證明問題3的猜想：an=■？

問題7：一般地，要證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，需要滿足什么條件？

數(shù)學(xué)歸納法原理的生活原型有很多，比如多米諾骨牌游戲、烽火臺(tái)傳遞警報(bào)、放鞭炮、單車整排倒下、積跬步以至千里等實(shí)例，但最為合適的當(dāng)屬多米諾骨牌游戲[3]. 該游戲的玩法雖然簡單，效果卻很震撼，幾乎所有學(xué)生都玩過，而且記憶深刻;更重要的是，該游戲的原理和數(shù)學(xué)歸納法的原理極其相似，因此它能給學(xué)生提供容易類比的生活經(jīng)驗(yàn). 教師給學(xué)生播放兩遍多米諾骨牌游戲的錄像，隨后將錄像定格在剛開始推倒骨牌時(shí)的畫面并提問：要使得多米諾骨牌全部倒下需要哪些關(guān)鍵條件？再減少一個(gè)條件行不行？為什么不行？學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過自己的觀察、思考，與同學(xué)的交流、討論，不斷完善對(duì)多米諾骨牌游戲原理的認(rèn)識(shí). 教師再根據(jù)學(xué)生的回答整理成文：①第一塊骨牌倒下;②假設(shè)第k塊骨牌倒下，則相鄰的第k+1塊骨牌也倒下（任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下）;③由①②可得，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下. 原理的第一個(gè)條件是基礎(chǔ)，是游戲啟動(dòng)的開關(guān)，第二個(gè)條件是向后傳遞的依據(jù)，保證骨牌能依次倒下，兩個(gè)條件缺一不可.

多米諾骨牌游戲的原理反映的只是自然規(guī)律，并不是數(shù)學(xué)原理. 只有把多米諾骨牌游戲的原理類比到數(shù)學(xué)之中，才能實(shí)現(xiàn)原理的遷移，抽象出數(shù)學(xué)歸納法的原理. 我們能否類比多米諾骨牌游戲的原理，證明問題3的猜想：an=■？如何類比？給學(xué)生充分的時(shí)間思考、探究，教師適時(shí)引導(dǎo)、追問和進(jìn)行小結(jié).