有效教學從設計情景和提出問題開始

高書霞

【摘要】高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握教學內容的本質.任意角的概念對學習任意角的三角函數至關重要.這節課就是設置合適的教學情境和提出有效的問題，從而達到有效教學的目的.

【關鍵詞】任意角;設計情景;有效教學;數形結合

1 問題的提出與思考

《普通高中數學課程標準解讀》指出，基于核心素養的教學，要特別重視情景的創設和問題的提出.核心素養是在特定情境中表現出來的知識、能力和態度，只有通過合適的情境才有利于學生感悟和形成.設計情境和提出問題的根基是數學內容的本質.概念教學的一個重要的方面就是將學生帶入問題中，讓學生在發現問題、解決問題的過程中主動構建，理解數學知識的本質，體會科學研究的一般方法.教師根據教學內容和教學目標創設、引領系列數學活動的問題情景，突出問題情景的啟發性，能夠引導學生發掘系列數學活動開展的暗線，幫助學生形成知識系統.

2 任意角的教學設計

2.1 學情分析

學生在初中階段學習了正負數與0還有0°～360°的角等相關概念，缺少對任意角概念的認知與思考.學生通過類比正負數與0的概念得到正角、負角、零角的概念，并通過實際情景在直角坐標系中研究象限角、討論任意角以及終邊相同角集合的表示方法.學生知識儲備水平符合本節課的基本學習要求，學習內容處于其最近發展區.

2.2 教材內容分析

“任意角”是蘇教版高中數學必修4第1章第1節第1課時的內容，是該冊的起始課.任意角的概念是學習任意角三角函數的基礎，是突破學生對角的概念認知的關鍵內容.本章教材的定位是展示對周期現象進行數學研究的過程，即建構刻畫周期性現象的數學模型的思維過程.角的概念的推廣（從靜態到動態）是研究三角函數的后續課程的邏輯基礎，在這之中起著承上啟下的作用.學生已經經歷過函數概念由靜態到動態的推廣，這對于角的概念的推廣有一定的幫助.角的概念在三角函數知識的發展過程中起著重要的作用，它決定著對三角函數的概念、性質的理解和把握的深度和廣度.因此，準確地理解任意角的概念對學習任意角的三角函數至關重要.

2.3 教學目標

（1）通過觀察生活情境，了解任意角的概念，理解任意角引入的過程與原因.

（2）能進行終邊相同角的計算，提高數學抽象素養與數學運算素養.

教學重點：任意角的概念、終邊相同角集合的表示方法.

教學難點：分類討論終邊相同角的問題，然后借助圖像分析其周期.

3 教學過程

3.1 新課引入

教師新課引入時可用這段話：自然界和生活中有許多“按一定規律周而復始”的現象，例如摩天輪的轉動，我們手表上時針、分針、秒針的轉動，這種按一定規律不斷重復出現的現象稱為周期現象，周期現象一般與周期運動有關，在這種周期變化的過程中，我們不難發現角也在呈現周期性變化，為了更好地研究這種周期性變化，我們需要先來研究角的概念（教師在黑板上寫角的概念）.

問題1：首先我們回顧一下初中是如何定義角的.

問題2：說說我們以前遇到過哪些角.

問題3：用不等式表示我們已經學過的角的范圍.

設計意圖 在引入時，一是通過對周而復始現象的介紹，為對周期性現象進行數學研究而學習三角函數;二是復習已學過的角的概念，喚醒學生對角的回憶，以學生頭腦中已有的具體的、直觀的知識為依托，為角的范圍擴大做好鋪墊.

3.2 探索新知

問題1：大家想一下在生活中我們有沒有遇到過超過360°的角.

情景1：在奧運會上觀看中國跳水運動員跳水片段慢動作，常出現向后翻騰兩周半、觀看體操比賽時出現了轉體720°這樣的動作名詞.

情景2：展示事先準備好的紙質鐘表模型

鬧鐘模型上的顯示時間為3：00，但是它快了一小時十五分，請一名學生演示校對過程并回答分針轉了多少度.

問題2：生活中存在大量超過360°的角，而且初中里的角的概念不能刻畫這些角了.這樣就需要我們對角的概念進行推廣，考慮前面的例子中的角都與旋轉有關，我們可否從旋轉的角度來定義角？說說你的看法.

問題3：如果時鐘慢了10分鐘，當時間校準后，分針轉了多少度？如果快了10分鐘，校準后分針又轉了多少度？請問這兩次調整時轉過的角度是一樣的嘛？什么不一樣？（方向不一樣）生活中還有這樣的例子嗎？

問題4：生活中存在很多現象需要區分旋轉方向，旋轉里順時針、逆時針是互為相反方向，我們習慣用什么來描述這種相反意義的量呢？比如溫度？

設計意圖 中學數學中，許多概念，尤其是基本概念與現實生活有著緊密的聯系.創設情境可以喚起學生學習的興趣，使學生身處現實情境，親身體驗，并在感性認識的基礎上，理解任意角的概念.任意角的概念不僅體現旋轉量，還要體現旋轉方向.鐘表分針的旋轉可引導學生從動態的角度對角的概念進行推廣.

問題5：請大家畫出α=-150°（展示學生做的圖），請大家來看這兩個角，它們都是-150°，但是它們的角朝向、位置都不一樣，這利于我們研究問題嗎？

問題6：為了研究方便，我們可以把角放在直角坐標系中進行研究，你覺得角的頂點放在哪里？角的始邊放在哪里？

練一練：在平面直角坐標系中，分別作出角-60°，60°，210°，420°.

（1）指出各是第幾象限角.

（2）觀察上述各角中有無終邊相同的角.

（3）你還能寫出與60°角終邊相同的角嗎？

從數的角度? ? ?從形的角度

-660°=（-2）·360°+60°60°角的終邊順時針旋轉2周;

-300°=（-1）·360°+60°60°角的終邊順時針旋轉1周;

60°=0·360°+60°60°角的終邊順時針旋轉0周;

420°=1·360°+60°60°角的終邊逆時針旋轉1周;

780°=2·360°+60°60°角的終邊逆時針旋轉2周;

k·360°+60°（k∈ Z）60°角的終邊逆（順）時針旋轉k周

問題7：我們把它推廣到一般，你認為怎樣表示與角α終邊相同的角？

師生共同總結得出：一般，與角α終邊相同的角的集合為{β|β=k·360°+α，k∈ Z}.從數的角度：終邊相同的角有無數個，它們相差360°的整數倍.從形的角度：k>0時，按逆時針方向旋轉k圈后角的終邊重合;k<0時，按順時針方向旋轉k圈后角的終邊重合;k=0時，角α終邊沒有轉動.

設計意圖 終邊相同的角的關系及其表示是本節課的難點，為突破這一難點，設置從易到難、從特殊到一般的問題串，引導學生由幾何位置之間的關系來探討其代數特征的“統一”.數形結合，借助于數學知識的載體，讓學生學會用數學的眼光看待問題，用數學的思維思考問題.

3.3 鞏固新知

例1 判斷下列命題的真假：

（1）第一象限角一定不是負角.

（2）小于90°的角一定是銳角.

（3）鈍角一定是第二象限角.

（4）第一象限的角一定是銳角.

設計意圖 由例題，進一步理解角的概念，深化動態角的概念的推廣.當講到（3）時還可以變式問：第二象限角是鈍角嗎？

例2 在0°到360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并指出它們是第幾象限角：650°，-480°，-970°.

設計意圖 進一步理解旋轉所成角，體現學習過程的應用性.學生在解答與-480°終邊相同的角時容易出錯，教師可以這樣引導：-480°比0°小，-480°就要加上360°得到-120°，滿足條件嗎？所以還要在加個360°，得到240°，240°滿足條件，因此，-480°=-2*360°+240°，因此-480°與240°終邊相同，所以-480°是第三象限角.

總結：只需將這些角表示成k·360°+α（k∈ Z，0°≤α<360°）的形式，然后根據α來確定它們所在的象限.

例3 已知α的終邊落在y軸的正半軸上，試探究 α 2是第幾象限角？

設計意圖 將 α[]2 寫成 k 2 ·360°+45°（k∈ Z），從數的角度對k進行奇偶討論，體會分類討論的思想;利用數形結合引導學生思考數學表達式中的“k·180°”在圖形上的周期變化規律，進行直觀判斷.

4 總結回顧

師生共同回顧本節課的學習過程，歸納如下：

（1）知識結構：將生活中實際遇到的角的問題，抽象出任意角（正角、負角、零角）象限角（終邊所在的象限）數形結合得到與角α終邊相同的角的集合S={β|β=k·360°+α，k∈ Z}.

（2）思想方法：靜態向動態擴充，形成任意角概念;為了方便研究，運用數形結合方法把角放到直角坐標系里去研究;終邊相同的角不一定相同，運用數形結合方法劃歸為終邊相同的角的集合;對于k的討論確定第幾象限角，運用分類討論思想進行解答;對于周期性，借助數形結合來分析.

5 教學反思

5.1 設置情景，引入概念

教學活動具有極強的目的性，教師需要在課前預設教學情境和問題，預設課堂上可能的生成問題，在此基礎上系統地整理和設計教學內容.弗利德曼認為，成功的教學必須使學生掌握正確的和完全的導向系統.

心理學家研究曾表示：概念的形成與概念的內化是學生掌握概念的基本途徑.概念的形成往往來源于學生的具體實際經歷，并在不斷比較與總結中明確概念的意義.而概念的內化，則需要學生建立在概念形成的基礎上.學生只有通過加工已有認知水平中的知識經驗，結合新概念的練習與綜合思考這個過程才能使得概念內化.

概念教學中，教師不僅要重視學生對知識概念的理解和掌握，更重要的是要引導學生通過自我主動構建經歷概念的形成過程，體會隱藏在概念背后的數學思想方法.

5.2 設計問題，注重思維

鐘啟泉教授認為，在教學前，教師應準備好一個提問或者討論的框架，就是對教學要素和教學過程的合理的步驟預設，體現師生主體活動.

學生自主探究，并通過動手實踐、智力參與、主動體驗、合作交流等活動，“再創造”自己的數學意義和數學活動經 驗，使數學學習為發展智力、提高一般科學研究能力奠定基礎.

在教學中，教師應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養，設計切合學生實際的情景和問題，引導學生用數學的眼光去觀察現象、發現問題，使在問題解決的全過程中，理解數學內容的本質，促進學生數學學科核心素養的發展.

【參考文獻】

[1]曹瑞彬.“任意角”的教學設計與反思[J].中學數學月刊，2018（4）：1-3.

[2]李俊.讓“過程與方法”目標回歸數學本真：以“任意角”的教學設計為例[J].中學數學教學參考，2015（16）：23-25，31.

[3]崔允漷.有效教學[M].上海：華東師范大學出版社，2009.