排列組合常見題型在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用

摘 ? 要：排列組合作為高中數(shù)學(xué)難點知識之一，有著其獨(dú)特的解題思維，關(guān)鍵在于數(shù)學(xué)建模中將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題.答題的靈活往往是造成解題困難的直接原因.掌握排列組合基本原理，解題做到不重不漏，往往能給解題的準(zhǔn)確帶來顯著的效果.常見的解題方法有捆綁法、插空法、優(yōu)先法、隔板法等.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;核心素養(yǎng);排列組合;先分堆再分配

排列組合常與概率問題作為高考重點，每年的全國高考題都有一道大題出現(xiàn)，而且都是以解答題的方式出現(xiàn).排列組合是在生活中提煉出來的，因此，解決目前社會生產(chǎn)生活中遇到的問題必須使用排列組合的基本思想、方法和技能，把實際問題轉(zhuǎn)化為需要的數(shù)學(xué)模型.數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)連接的紐帶，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、育人目標(biāo)的具體體現(xiàn).計數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對象之一，分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題最基本、最重要的的方法，它們?yōu)榻鉀Q很多問題提供了思想和工具.在本文中，主要運(yùn)用數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模研究排列、組合常見的幾種考題類型以及題型的擴(kuò)充和推廣.

1 ?數(shù)字問題模型

【例題1】（1）求4320的不同正約數(shù)的個數(shù);

（2）求這些正約數(shù)的和。

解析（1）：這是一道分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用題目，但題目中并無明確的分步步驟，這就需要我們自己來確定一個分步步驟.由于題目要求4320的正約數(shù)，因此我們將4320用從小到大的不同質(zhì)因數(shù)的冪之積來表示，即4320=25·33·51.容易看出，4320的正約數(shù)的質(zhì)因數(shù)必在2，3，5中.則可根據(jù)分步計數(shù)原理進(jìn)行求解.

解：設(shè)4320的正約數(shù)為N=2n·3m·5r，則n可取0，1，2，3，4，5六個值;m可取0，1，2，3四個值;r可取0，1兩個值.∴所求的正約數(shù)的個數(shù)為6×4×2=48個.

解析（2）：題目乍看感覺無從下手，其實我們根據(jù)（1）中得出的結(jié)論可以很容易看出，求這些正約數(shù)的和即求20·30·50+21·30·50+22·30·50+…+25·33·51，而這個式子正是（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）的展開式.因此，題意就轉(zhuǎn)為求上式的和.

解：（20+21+22+23+24+25）（30+31+32+33）（50+51）

=××

=63×40×6

=15120.

2 ?分步乘法計數(shù)原理

例：（1）從6個人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有多少種？

（2）6個人要去巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科這四個城市中的某個城市游覽，且甲、乙兩人不去巴黎游覽.則不同的選擇方案共有多少種？

解析：根據(jù)題目的限制：甲、乙不去巴黎，則應(yīng)首先考慮甲、乙和巴黎.其次，這兩道題看似差不多，而實際上（1）中是四個城市都必須有人去，而（2）中則是6個人必須都去，但不一定每個城市都必須要有人去.所以，考慮問題（1）要以“城市”為主，問題（2）則以“人”為主.

解： （1）去巴黎的人除甲、乙外從剩下的4人當(dāng)中選一個人，去倫敦的有5個人可選，去悉尼有4人可選，去莫斯科有3人可選.∴不同的選擇方案共有4×5×4×3=240種.

（2）甲和乙有3個城市可選，而其他4人均有4個城市可選.∴不同的選擇方案共有3×3×4×4×4×4=2304種.

3 ?涂色問題模型

【例題2】一個同心圓行花壇，分為兩部分，中間小圓部分種植草坪和綠色灌木，周圍的圓環(huán)分為n（n≥4，nN*）等份，種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花[ 1 ].

（1）如圖1，圓環(huán)分成的4等分為a1，a2，a3，a4，有多少種不同的種植方法？

（2）如圖2，圓環(huán)分成的n等分，a1，a2，a3，…an， 有多少種不同的種植方法？

解：（1）如圖1，當(dāng)a1與a3不同顏色時，有A32×1×1=6種，當(dāng)a1與a3相同顏色時，有A31×2×2=12種.∴共有S（4）=6+12=18種.

（2）如圖2，圓環(huán)分為n等份，對a1有3種不同的種法，對a2，a3，a4，…an都有兩種不同的種法，但這樣的種法只能保證 ai-1與ai（i=1，2，3，…n-1）不同顏色，但不能保證a1與an不同顏色.于是，一類是an與a1不同色的種法，這是符合要求的，記為S（n）（n≥4）種，另一類是an與a1同色的種法，這時可以把a(bǔ)n與a1同色看成一部分，這種種法相當(dāng)于對n-1種部分要求的種法，記為S（n-1），共3×2n-1種種法.

則S（n）+S（n-1）=3×2n-1，

即S（n）-2n=-〔S（n-1）-2n-1〕.

∴ 〔S（n-1）-2n〕（n≥4）數(shù)列是首項為S（4）-24，公比為-1的等比數(shù)列.

由S（4）=18得：S（n）-2n=（18-24）（-1）n-4

∴ S（n）=2n+2·（-1）n-4.

【點評】圖形涂色問題是利用兩個原理處理的一種對能力要求較高的問題，需要特別關(guān)注圖形的特征，有多少塊，用多少種顏色.

4 ?排隊問題模型

【例題3】三個男生和四個女生按下列條件排成一排，有多少種排法？

（1）男生互不相鄰;

（2）男女生間隔相排;

（3）甲、乙兩人必須相鄰;

（4）男生排在一起，女生排在一起;

（5）甲不站左端，也不站右端;

（6）甲、乙站兩端;

（7）甲不站左端，乙不站右端;

（8）甲在乙前面（不一定相鄰）.

解析：（1）解決間隔排列問題常用“插空法”，也就是先排不需要間隔（可以相鄰）的元素，再將需要間隔的元素用插空方式插進(jìn)來即可.∴先考慮女生全排有A44種，形成5個空隙，再將3個男生任意插入5個空中，有A53種.

∴ 共有A44×A53=1440種.

（2）這題仍是采用插空法，所不同的是，兩種元素都不能間隔.顯然，女生或男生之間必須相差1的排法才能滿足題意.因此，女生全排A44種，為了滿足條件，剩下的3個男生必須只能在4位女生中間的3個空位排，∴共有A44×A33=144種.

（3）像這類有些元素必須要安排在一起的問題，常用“捆綁法”解決，即先排集團(tuán)內(nèi)部的元素（甲、乙），再把該集團(tuán)作為一個整體，看成一個元素，然后與其他剩余的元素進(jìn)行全排即可.∴共有A22×A66=1440種.

（4）同（3），這題仍是相鄰問題，但是這題的兩種元素都分別需要安排在一起.一樣的道理，男生內(nèi)部排法有A33種，女生內(nèi)部排法有A44種，∴ 共有A33×A44×A22=288種.

（5）因甲不能站在左右端的任一位置，故第一步先讓甲站在除兩端以外的位置上，有A51種站法;第二步再讓余下的6個人任意站在其他6個位置，有A66種，∴ 共有A51×A66=3600種.

（6）首先考慮特殊元素，讓甲、乙站兩端有A22種，再讓其他5個人任意站在中間5個位置，有A55種.∴ 共有A22×A55=240種.

（7）甲在左端的站法有A55種，乙在右端的站法有A55種，而甲在左端，乙在右端的站法有A44種，故共有A66-2A55+A44=504種.（本題采用間接法解題較簡單，有時候根據(jù)題目的方向，采用直接法會比較簡單.）

（8）不考慮其他元素時，僅對甲、乙兩人進(jìn)行排列，有A22種，其中甲在乙前面的排法只有1種，因此可以看做甲在乙前面的比例為，因此，七個人全排時有A77種，其中滿足甲在乙前的排法占，∴ 共有A77×=2520種.

以上是排列組合幾種常見的題型，排列組合的題目貴在靈活，重在數(shù)學(xué)建模，通過對實際問題的簡化和抽象后，用計數(shù)原理建立模型，用數(shù)學(xué)方法解決問題，再回到實際問題中解釋，主要包括分析抽象、建立模型、求解模型.但從解法上看，大致有以下幾種：第一，有附加條件的排列、組合問題，大多數(shù)需要分類討論的方法，注意分類時不重不漏;第二，排列與組合的混合題型，分步驟，用分步乘法原理解決;第三，元素要相鄰，看作一個整體，使用捆綁法;第四，元素不相鄰，用插空法;第五，間隔法，把不符合條件的排列或組合剔除掉;第六，先分堆，再分配，面對不同的元素，可采用分堆分配;第七，面對相同的元素，可以用隔板法進(jìn)行求解。總之，排列組合是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之?dāng)?shù)學(xué)建模的重要模型，是現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)連接的紐帶.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳炳泉.巧解排列組合常見應(yīng)用問題[J].福建中學(xué)教學(xué)，2006（10）.

[2]王國君.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)[J].教育科學(xué)（引文版），2016（8）.