矩形特殊性的探究

馬維俊

【摘要】矩形是特殊的平行四邊形，準確掌握矩形的特殊性對理解矩形與平行四邊形之間的關系至關重要.理解矩形的特殊性有很多方法和手段，本文欲借助信息技術手段（幾何畫板）從不同的角度對矩形相對于平行四邊形的特殊性進行探究，從而達到使學生準確理解矩形與平行四邊形關系的目的.

【關鍵詞】矩形;特殊性;探究

1 引言

矩形是人教版數學第十八章第2節第1小節的內容，是在平行四邊形的基礎上學習的特殊的平行四邊形.顯然，矩形是平行四邊形，但又不是一般的平行四邊形，有其特殊性.從形狀上看，矩形最大的特殊性在于其四個角都是直角，所以教材上定義矩形的時候從“角”的角度去定義，即給平行四邊形添加一個“直角”的條件，從而得到矩形.之后，教材以“角”為主線，給出了矩形的一條有別于一般平行四邊形的性質，即“矩形的四個角都是直角”;同樣以“角”為主線，給出了矩形的一條特殊的判定方法，即“有三個角是直角的四邊形是矩形”.顯然，這些矩形獨有的性質和判定的探究，離不開矩形的“角”.

對于初識矩形的學生來講，教師以怎樣的方法向學生展現矩形的特殊性比較合適呢？首先第一步是觀察.幾何畫板作為一個有效的幾何學習工具在表現圖形的直觀性當中，提供了有效的觀察角度，是最佳選擇.在利用幾何畫板演示時，教師要刻意沿著矩形的特殊性源自“角”這個思路去引導學生，以便達到使學生理解矩形特殊性的目的.

2 探索矩形特殊性的有效途徑

想要利用幾何畫板探索矩形相對于平行四邊形的特殊性，可以從以下四個角度去探索.

2.1 從一個內角看矩形的特殊性

有一個角是直角的平行四邊形是矩形，這是教材上對矩形的定義.這個定義從角的層面讓我們認識到了矩形的特殊性.在幾何畫板中繪制平行四邊形ABCD，并度量∠ABC，如圖.

在保證鄰邊AB和BC的長度不變的前提下，拖動A點從右向左移動，可發現∠ABC從0°向180°變化.在這個變化過程中，平行四邊形的形狀同時發生變化.當∠ABC從銳角變化為鈍角時，必然存在∠ABC =90°的狀態.90°是一個特殊的存在，它恰好是銳角和鈍角的分界度數.此時，平行四邊形的形狀便處在一個特殊的形態，這個形態就是矩形的形態.

2.2 從一組鄰邊的位置關系看矩形的特殊性

對于上面的變化過程，若從兩條相交線的層面去看，兩直線相交，若不考慮重合的情形，只有一種特殊狀態，那就是兩直線垂直.當拖動A點從右向左移動時，線段AB和BC所在的直線從一般的相交狀態先變為垂直相交再變為一般相交，而AB⊥BC時，平行四邊形ABCD的形態就是矩形的形態.

從過程上看，以上兩種情形的特殊形態都以90°為基礎，但是考慮的視角不同.第一種情形是從“角”出發看特殊性，重點體現直角這個特征.第二種情形是從“邊”出發看特殊性，重點體現一組鄰邊的特殊的位置關系.這兩種分析方式，有助于學生理解構成矩形的不同元素對矩形的特殊性的影響，有助于學生從“角”和“邊”的層面去學習和探究矩形，為學生提供探究方法和探究思想.

2.3 從一組對邊之間的距離看矩形的特殊性

由平行四邊形的性質可知，平行四邊形的對邊平行.在平行四邊形ABCD中，AB∥CD.兩條平行線間的垂線段的長度叫作平行線間的距離.在幾何畫板中，繪制平行四邊形ABCD，在對邊AD與BC之間作垂線段EF，并度量EF，如圖.

在保證鄰邊AB和BC的長度不變的前提下，拖動A點從右向左移動，觀察EF長度的變化，可發現∠ABC從0°向90°變化時，EF的長度逐漸變大;當∠ABC=90°時，EF的長度達到最大值;∠ABC從90°向180°變化時，EF的長度逐漸變小.在整個變化過程中，EF達到最大值時，平行四邊形ABCD的形態便是這個過程的一個特殊形態，即矩形的形態.

2.4 從面積看矩形的特殊性

平行四邊形的面積=底×高.在幾何畫板中繪制平行四邊形ABCD，度量∠ABC和平行四邊形ABCD的面積，如圖.

在保證鄰邊AB和BC的長度不變的前提下，拖動點A從右到左移動，可發現∠ABC從0°向90°變化時，平行四邊形的面積逐漸變大;當∠ABC=90°時，平行四邊形的面積達到最大值;∠ABC從90°向180°變化時，平行四邊形的面積逐漸變小.在整個變化過程中，平行四邊形的面積達到最大值時，平行四邊形的形態便是這個過程的一個特殊形態，即矩形的形態.

從相關性上看，第三種情形的探究和第四種情形的探究，都與矩形的一組對邊之間的最大距離相關.但這兩種探究視角，反映了不同的知識側重點.第三種情形重點在體現兩條平行線間的最大距離.距離是初中幾何學習的一大難點，包括點到點的距離、點到直線的距離、兩平行線間的距離.在這里學生從距離的視角去看矩形的特殊性，不僅對矩形會有更好的理解，同時對距離也有更深的體會.第四種情形重點在體現“面積最大”這個特殊性上.這里學生體會到的是面積的變化.與以往靜止的面積不同，這是在變化過程中尋求最大面積.這兩種情形的探索過程，幫助學生在理解矩形特殊性的同時，初步認識了“求最值”的數學思維.

在理解矩形相對于平行四邊形的特殊性時，我們利用幾何畫板使得矩形的特殊性顯得更加直觀和形象.從一個內角、一組鄰邊的位置關系、一組對邊之間的距離及面積等方面探究，可使得學生更加深入地理解矩形的定義，更加深刻地理解矩形與平行四邊形之間的關系，更加清晰地明白矩形相對于平行四邊形的特殊性，為其學習矩形的性質和判定奠定了堅實的基礎.

3 功能特殊的矩形

和其他初中階段學習的圖形相比，矩形是最為常見也是應用最為廣泛的圖形之一.而在矩形的種類中有一個比較特殊的矩形，因其具有一定的特殊性所以值得我們去重視.

3.1 黃金矩形

3.1.1 黃金矩形的概述

【參考文獻】

[1]秦興濤. 一道矩形折疊問題的三種解法（初三）[J]. 數理天地（初中版）， 2018（6）：19.

[2]汪晶晶. 生長型數學專題復習課教學探索：以“矩形折疊問題”為例[J]. 中學數學研究（下半月）， 2019（9）：38-40.

[3]沈岳夫. 細品讀 善聯想 巧破解：對一類“定義特殊四邊形”求邊長的試題探析[J]. 中學數學， 2018（14）：85-87.

[4]陳德前. 特殊平行四邊形的判定[J]. 初中生天地， 2018（11）：41-42.