高等數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要極限的推導(dǎo)方法

張春香　　龔加安

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，除了掌握基本知識(shí)、基本技能外，還要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。不同的推導(dǎo)方法，可以培養(yǎng)學(xué)生不同的思維方式。本文通過(guò)高數(shù)學(xué)中兩個(gè)重要極限的推導(dǎo)方法來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新精神，開(kāi)闊解題思路，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

【關(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué)? 重要極限? 發(fā)散思維

【基金項(xiàng)目】陜西省教育廳科學(xué)研究項(xiàng)目（17JK0962）;商洛職業(yè)技術(shù)學(xué)院2017 年度重大課題（2017JXKT06）。

【中圖分類號(hào)】O13 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）49-0133-01

極限是微積分中的基礎(chǔ)概念，它指的是變量在一定的變化過(guò)程中，從總的來(lái)說(shuō)逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢(shì)以及所趨向的值。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴(yán)格闡述。在現(xiàn)代的高等數(shù)學(xué)教科書中，幾乎所有基本概念（連續(xù)、微分、積分）都是建立在極限概念的基礎(chǔ)之上。在求極限的多種方法中，利用兩個(gè)重要極限來(lái)求極限是非常重要的一種求極限的方法。關(guān)于兩個(gè)極限的推導(dǎo)幾乎所有的教材都是利用夾逼定理證明第一個(gè)重要極限，用單調(diào)有界數(shù)列必有極限和二項(xiàng)式定理證明第二個(gè)重要極限。對(duì)兩個(gè)重要極限除了這些方法外，還可以換一個(gè)角度給出另外的證明。下面歸納總結(jié)出兩個(gè)重要極限的一些推導(dǎo)方法。

1.重要極限=1

證法1：該極限的證明，關(guān)鍵是證不等式：sinx

如圖，設(shè)單位圓⊙O的漸開(kāi)線為.若記∠TOA=x，并過(guò)T作TH⊥X軸于H，TBC切⊙O且交 及X軸分別于B、C，則sinx =TH

因扇形面積OAT=x的求得，一般是n等分∠AOT成n個(gè)等腰△AiOAi-1（i=1，2，…，n，A=A0，T=An），則

∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=nsin（x/n）

此時(shí)，扇形面積OAT=∑△AiOAi-1=∑sin（x/n）=x [sin（x/n）/（x/n）]

顯然當(dāng)[sin（x/n）/（x/n）]=1時(shí)，扇形面積OAT=x，但令t=x/n，則該極限為要證明的重要極限。

證法2（用洛必達(dá)法則）：==cosx=1

2.重要極限（1+）x=e

證法1：當(dāng)x=n（正整數(shù)）時(shí)，設(shè)數(shù)列un=（1+）n只需證該數(shù)列是單調(diào)有界的即可。為此計(jì)算：

un=（1+）n=1+n+++…+=1+1+（1-）+（1-）（1-）+…+（1-）（1-）+…+（1-）

類似地可計(jì)算

un+1=（1+）n+1=1+1+（1-）+（1-）（1-）+…+（1-）（1-）+…+（1-）+（1-）（1-）…（1-）

比較un與un+1的展開(kāi)式，可知除前兩項(xiàng)外，un中的每一項(xiàng)都小于un+1中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)，且un+1比un多了最后的正數(shù)項(xiàng)。所以u(píng)n

即數(shù)列un是單調(diào)增的。

把un中每個(gè)括號(hào)內(nèi)用1代替，則

un≤1+1+++…+≤1+1++++…+=1+<1+=3

即數(shù)列un有界。從而知，當(dāng)n→∞時(shí)，數(shù)列un=（1+）n的極限存在，其極限用e表示。

證法2：

（1+）x=e=e=e=e=e=e=e

高等數(shù)學(xué)中，能利用多種方法證明推導(dǎo)的例子有很多，在平時(shí)教學(xué)中，教師要積極引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行這方面的訓(xùn)練，不僅能鞏固基本知識(shí)，掌握基本技能技巧，而且有助于培養(yǎng)全面分析問(wèn)題的能力，培養(yǎng)具有靈活性和多向思維能力。

參考文獻(xiàn)：

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（六版）[M].北京：高等教育出版社，2013.

[2]崔宏志.高等數(shù)學(xué)[M].北京：機(jī)械出版社，2013.

[3]黃煒.經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2011.

[4]崔宏志.高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2016.