數形結合在物理解題中的應用

余水斌

摘? ?要：數形結合的核心素養是將數與形進行有機結合，本文闡述在物理解題中巧妙地把數轉變成形，或把形轉變成數，使抽象的實際的物理問題變得簡單明了。

關鍵詞：核心素養;數形結合;解題

引言

近年來高考題目中數對形結合的題型考查所占分數的比重越來越大，高考中借助數學知識來解決物理問題越來越受到命題者的重視。高中物理新課標中也明確要求，物理教學的核心素養是要求學生能用多種方法分析，解決物理問題，包括利用物理規律構建物理模型，利用數形結合來構建物理模型等。物理問題的分析在一定程度上是利用數學知識和方法來展開的，而數形結合能更好地解決物理的抽象問題和實際的問題。這類題目的難點和要點主要集中在對數形結合的理解上。為了更好的認識數形結合在物理教學中的應用，將從以下幾個方面來闡述我的觀點。

1? 數形結合思維的核心素養

數形結合是一種科學思維方式，物理教學中體現在將數學的語言與物理圖形有機地結合在一起，即抽象的物理概念與具體的物理事實合理結合的體現。它能夠清晰的反應物理過程，能客觀地實事求是反應物理實驗規律，方便學生歸納得出結論。還能簡潔、形象、明了、直觀地呈現兩個甚至多個物理量之間的聯系。因此，利用數形結合的思維的方式，來分析物理問題的方法有著巧妙的應用。我們可以運用數形結合中的圖形直接分析和解題。一些對物理過程進行運動性質及情景分析的問題，如判斷物體運動的狀態、過程是否做勻變速直線運動，電阻一定時電阻兩端的電壓和電流是否成正比，在分析兩個運動物體的追及與相遇類問題時等等，這些問題常常可運用圖象直接解答，使問題變得簡單又明了。如果能夠用物理圖象描述，一般說來總是有直觀、容易理解的特征，能在高考中提高解題的正確率，又能節省出寶貴的時間來解答和思考其他問題。物理學科是一門自然學科，物理知識來源于生活中的提練，還再融合了其它學科的知識，比如數學知識，通過物理的表達與數學知識有機結合，反映出圖與形之間的內在聯系，特別是圖形之間的內在聯系。基于此，我們平時在物理教學中或在物理問題的解答中應多滲透數形結合思想的思維方法。

2? 物理解題中的數形結合的應用

數形結合是數學中的一種重要方法，物理離不開數學的幫助。實際問題的解決過程可分為兩類情況：一是通過數的精確表達式來顯化形的某些規律性，二是通過形的幾何性質，反映出數學函數的特點。

2.1? 數形結合中由數轉變成形的應用

2.1.1? 數形結合中的形主要是指圖形，它包括幾何圖形、函數圖形、實物圖形等。

物理的學習更離不開圖形，物理教學中借助圖形直觀描述物理過程、形象地反映物理規律、表示物理量間關系及變化特點。因此我們要弄清圖線的形狀是直線還是曲線、截距、斜率、交點、面積所代表的物理意義。如在研究勻變速直線運動中的速度和時間的關系時，用公式vt=vo+at來描述的話比較復雜，但轉化成圖形來分析就更易理解了，采用數形結合，用換元法，令vt換成y，t換成x，變成了y=b+kx，這在數學中是一個非常簡單的一次函數，則從圖象中可以得出截距、斜率、面積，它們分別代表初速度、加速度和位移的大小，簡單直觀明了。

在求解一些多過程物理問題時，由于題目中已知各個物理量之間的相互關系比較復雜，且經過多個過程，想要完成求解必須要根據多個物理規律用到多個的物理公式，列方程組，并要解方程組才能得出結論，由此給學生增加了解題的難度和求解所需時間。因此，在分析求解這些問題時，我們可以試著換一種思路，用數形結合的方法來分析，用數學的函數圖象來表達題意，再用數學有關知識結合物理規律求解得出結論，這樣會使原本復雜的物理問題得到了大大的簡化，從而很大程度提升了問題的求解效率并且節省了寶貴的時間。

例如一個人乘電梯上升加速用了3s，勻速用了9s，最后減速用了2s，總共上升了23m，問電梯勻速的速度是多少？

本題題目短，看起來簡單，實際上不簡單。題中物體經過分為三個過程，如果用普通的方法解，得用數學中的方程組來解，但繁雜。

如果采用數形結合的方法那要簡單的多。把題目中的過程用v-t圖象描述出來，如圖1所示，再根據v-t圖象中曲線和t軸v軸所圍成的面積的大小等于物體通過的位移大小，設物體勻速運動的速度大小為v，則通過圖象求面積s=，代入數據馬上得出v=2m/s。

2.1.2? 利用數形結合中的形來審題

物理解題是否成功，正確的審題是關鍵，錯審、漏審、或答非所問，都會造成解題的失誤，這些都是高中學生經常出現的錯誤，也是高考丟分較嚴重的地方，因此掌握合理的正確的審題是非常有意義的。正確有效的審題方法往往能給學生產生巧妙又簡單明了的解題思路，審題方法多種多樣，其中數形結合是物理審題中最有效、最合理、最常見的思想方法之一，所以審題時我們首先要考慮是數形結合的方法。而物理學中題目所描述物理過程，物理規律，物理數據往往是用數學語言來表述的，而大多數題目是沒有給圖形的，它們既復雜又抽象.因此物理問題的求解過程主要是過程分析和情景的理解，而較常用的就是列式，甚至列方程組求解，所以常利用數形結合的方法來審題，實現思路的融會貫通，達到數與形的結合，達到解決問題的目的。

2.1.3? 利用數形結合中的形來描述物體的動態平移問題

動態矢量圖是一種將復雜的物理過程問題轉化為幾何問題，利用圖解的幾何知識來解題的思想方法，即通過矢量運算，結合矢量的平行四邊形定則確定線段的大小、矢量的方向、角度的大小等幾何量可以直接反映所研究物理量的大小或變化過程，非常直觀明了，學生也更容易理解和掌握，同時也可以開拓學生的解題思路。

如圖2所示，固定三角形上放著一個小球，被一豎直擋板擋住處于靜止狀態，現使擋板由豎直緩慢轉向水平方向且保持小球靜止狀態，求在這個過程中小球對斜面和擋板的壓力變化情況如何？

分析：這是個動態平衡問題，如直接按常規的方法，利用物理規律來解將非常的復雜，甚至解不出來。但如利用數形結合的思想，把一個物理問題轉化為圖形問題將會使問題變的簡單化。如圖3所示，N1表示擋板對小球的壓力，N2表示斜面對小球的壓力，G表示小球受到的重力。先對小球 受力分析畫出小球所受的原始力，作出原始的平行四邊形，再結合本題的特點，“緩慢平移”可視為動態平衡，其中重力G的大小和方向都不變，圖中的對角線長度表示重力的大小，斜面的彈力N2 的方向不變， 因此作圖時讓對角線不動，作出幾個平行四邊形，利用幾何線段的長短變化來判斷各個力的變化趨勢，最終由圖可知N2的線段逐漸變短，則代表小球對斜面的壓力N2逐漸變小，擋板對小球的壓力N1的線段先變短后變長，則代表小球對擋板的壓力N1先變小后變大。

2.2? 數形結合中由形轉變成數的應用

在物理題目中往往是針對物體的運動狀態或變化規律而給設定的圖形，僅按照題目所給定的圖形已知的信息是很難解決問題的，要解這類問題除了對給定的圖形進行詳細的分析外，還要弄清楚圖象的含義，代表什么物理量，及圖象的斜率面積各代表什么含義，后利用物理規律，概念或公式寫出原始表達式，再結合圖象把原始表達式整成縱軸關于橫軸的函數表達式，將其進行轉換，再根據數學的正比例函數，一次函數，雙曲線函數，或拋物線等的特點，結合圖象中的數據如截距，斜率，面積等來解題，隨后再將直觀的圖形問題的有關信息和規律轉化為函數方程形式或代數形式問題，有效地把已知量和未知量建立起相互關系，呈現出明顯的物理變化規律，最終可以完成問題的解答。如圖4所示，圖線A和B分別表示A，B兩物體做勻速圓周運動時的向心加速度a隨半徑r變化的關系，從A、B兩物體做勻速圓周運動時的向心加速度隨半徑變化的關系圖線中是否可以看出，隨著半徑r的增加，是線速度v保持不變，還是角速度w的大小保持不變。分析本題只憑圖象很難作出正確的選擇，但利用數形結合中的形轉變成數的思想就很好理解了。通過對圖象的觀察，發現A、B兩物體的圖線分別表示正比例函數和雙曲線函數，而縱軸是a，橫軸是r，結合本題的圓周運動的知識，利用向心力的公式a=w2r和a=v2/r，再利用換元法把a換成y，把r換成x，可得B圖為正比例函數，判定w為定值是不變的，A 圖線為雙曲線，判定v為定值是不變的。數形結合使問題簡化了。

3? 近來高考中物理解題中的數形結合的展望

剛結束的2018普通高等學校招生全國統一考試理科綜合物理試題中共13題，其中就有9個題目需要用到數形結合的思想來解決的，有些題目本身并沒有給圖形，但為了更好的審題理解題意，需要借助圖形來理解，邊審題邊畫草圖邊把題目中的已知量標在圖中。大多數物理題目的解法都類似，往往都是先用物理規律或物理公式列出相關表達式，再用數學的換元法把它換元成數學的函數形式，再根據相關物理量的取值范圍，利用函數圖像或函數單調性的知識，如圖象的交點，斜率，面積，截距等求出相關值。但有時變量個數有兩個而且不完全獨立，這時就須再找另外的物理規律列方程，利用數學規律來解方程組。

4? 結束語

總之，應用數形結合的思想解決物理問題，往往能將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而更加快捷尋求最佳解題思路和方法[ 1 ]。而物理題目往往文字多，內容廣，過程復雜，而又沒有給圖，讓學生感到一團麻，這就需要考生從復雜的題目中提練出有用的信息，借助數形結合中的圖形來審題，將會使得學生審題效率及正確率大大地提高。在具體應用中，教師需要進行全面歸納和總結，引導學生掌握數形結合思想在解題中的應用，實現數與形的有機結合，實現對物理概念和規律與數學知識的結合，實現互補，拓寬學生的思路，對物理問題的解決發揮指導性的作用。同時，教師應在教學過程中滲透數形結合思想方法[ 2 ]，使學生養成數形結合的應用習慣，這樣有助于學生高效的學習物理。

參考文獻：

[1]叢杰.對加強中學數學思想方法教學的思考與實踐[J].徐特立研究，1997（3）：20.

[2]周玟秋.淺談高中物理解題與數形結合思想[J].新校園（中旬），2016（8）：30.