教師要引導學生在“犯錯”中成長

陳偉華

【摘要】本文是以基本不等式的教學為例，通過給學生“挖坑”的形式，引導學生“犯錯”，總結犯錯的原因，從而加深對易錯點的理解，讓學生在犯錯中成長.

【關鍵詞】犯錯;引導;挖坑

我們教學中常遇到的一個問題：“學生能聽懂課，但不會解題”.如何解決這個問題呢？筆者覺得可以試著給學生“挖坑”，甚至有時候可以“誤導”一下學生，多讓學生犯犯錯，然后在糾正錯誤的過程中獲取知識.筆者以基本不等式的教學為例，闡述這個觀點.

基本不等式 a，b∈R+，a+b≥2ab，當且僅當a=b時取等號.

變式 a，b∈R，ab≤a+b2≤a2+b22，當且僅當a=b時取等號.

使用基本不等式有個常用的口訣：“一正二定三相等”，學生對這個口訣都耳熟能詳，但其實能運用得好的學生并不多.為了使學生們真正地理解這個口訣，并且能很好地運用它，筆者采用的是給學生“挖坑”的辦法，使學生在犯錯中加深對口訣的理解.

例1 已知x>3，求y=x+1x-3的最小值.

解 ∵x>3，∴x-3>0，

∴y=x+1x-3=（x-3）+1x-3+3

≥2（x-3）·1x-3+3=5，

∴y的最小值是5.

變式 （第一個坑）已知x<54，求y=4x-2+14x-5的最大值.

設計這道題的目的是因為許多學生會忽略掉自變量的取值范圍，然后照搬例1的解法，學生易犯錯誤：

∵y=4x-2+14x-5=4x-5+14x-5+3

≥2（4x-5）·14x-5+3=5，

∴y的最小值是5.

解法和例1很類似，但不滿足“一正”，并且也不是最大值，糾正：

∵x<54，∴4x-5<0，∴5-4x>0.

∵（5-4x）+15-4x≥2（5-4x）·15-4x=2，

∴（4x-5）+14x-5≤-2，

∴y=4x-2+14x-5≤1，

∴y的最大值是1.

強調使用基本不等式，必須是在“一正”的前提之下.

例2 已知y=x2+2x2+1，求y的最小值.

解 ∵y=x2+2x2+1=x2+1+1x2+1=x2+1+1x2+1

≥2x2+1·1x2+1=2，

∴y的最小值是2.

變式 （第二個坑）求y=x2+5x2+4的最小值.

學生易犯錯誤：

∵y=x2+5x2+4=x2+4+1x2+4=x2+4+1x2+4

≥2x2+4·1x2+4=2，

∴y的最小值是2.

這種解法忽略了“三相等”，因為只有當x2+4=1x2+4時，也就是x2=-3時才能取到最小值2，但這是做不到的.

正確解答 y=x2+4+1x2+4.

令x2+4=t，y=t+1t（t≥2）.

∵y′=1-1t2=t2-1t2>0，

∴函數在[2，+∞）上單調遞增，

∴y≥2+12=52，∴y的最小值為52.

實際上這道題用基本不等式是解不了的，挖這個坑的目的是想告訴學生：使用基本不等式解題必須滿足“一正二定三相等”三要素，缺一不可.

例3 已知a2+b2=1，求a1+b2的最大值.

解 ∵a1+b2≤a2+1+b22=1，

∴a1+b2的最大值為1.

變式 （第四個坑）已知a2+b22=1，求a1+b2的最大值.

學生易犯錯誤：“二定”，湊不出定值.

分析 ∵a2+b22=1，∴2a2+b2=2.

又∵a1+b2≤a2+1+b22，

要湊出定值，只需在不等式左邊添加2，解答如下：

∵（2a）1+b2≤（2a）2+（1+b2）22

=2a2+b2+12=32，

∴a1+b2≤322=324，

∴a1+b2的最大值為324.

小結 使用基本不等式求解最值問題時，要注意：“一正二定三相等”三要素，特別應該注意，一般不要出現兩次不等號，若出現，則要看兩次等號是否同時成立.

在函數的填空題中也有很多這樣的例子，那么教師也不應該放過這些讓學生犯錯的機會，我們來看一下這個例子：

總之，在教學過程中，教師不應該剝奪學生“犯錯”的機會，讓學生在“犯錯”之中總結經驗，尋找解題規律.這樣給學生留下的印象會特別深刻，而最終達到少犯錯的效果.

【參考文獻】

[1]沈新權.高中學生數學思維障礙的成因及突破[J].中學時代，2014（10）：30.