例談解析幾何中與圓有關的參數范圍問題

唐杰

【摘要】縱觀近幾年高考對圓的考查，重點放在與圓相關的最值問題上，主要考查與圓相關的參數范圍問題和圓相關的長度或面積的最值問題.它要求學生有較強的數形結合能力、轉化與化歸意識和準確的計算能力，才能順利解答.本文通過一道與圓有關的題目的解析，探究了所給問題中不等關系的主要途徑與策略.

【關鍵詞】高中數學;解析幾何;參數范圍;途徑與策略

解析幾何中的參數范圍問題是高考中的常考內容，也是備考復習的重點問題，這類題目綜合性較強，需要較強的圖形認知能力和代數運算能力.在求解過程中要注意思維的嚴密性，同時還要注意數形結合、函數與方程的化歸與轉化等數學思想的應用.對此，一般情況下的解題思路，是首先尋覓出（或直接利用）不等關系，包含幾何與代數的不等關系，進而通過這個不等關系的演變解出有關參數的取值范圍.

一、經典題目再現

已知圓O：x2+y2=2，設點D（x0，y0）在直線l：x+y-2=0上，若圓O上存在點M、N滿足DM=MN，求x0的取值范圍.

二、“四基四能”解析

本題主要考查直線與圓的位置關系、圓的性質、平面向量等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想、轉化與化歸思想、函數與方程的思想、特殊與一般的思想.

三、解題思路解析

涉及直線與圓的位置關系的題目，首先應判定直線與圓的位置關系.圓心O到直線l的距離d=2=r，則該直線與圓相切.其次，由DM=MN得M為DN的中點，故本題即為由存在M為DN的中點，求D點橫坐標x0的范圍，需要構造一個不等關系來求范圍.因此，如何構造一個不等關系是解決本題的關鍵.

四、構造策略分析

解析幾何的思想就是用代數的方法研究幾何，因此，在解題的過程中，一定要關注圖形的特征及代數屬性，在構建關系中就需要從幾何的角度和代數的角度探求不等關系.幾何角度，就是要利用相關的曲線的性質及平面幾何知識得到不等關系;代數角度，就是構造“目標函數”，然后再去求“目標函數”的最值，從而得到不等關系.

1.幾何角度一：利用圓中的幾何特征構造不等關系：① 在圓中，直徑為最長的弦.② 圓外一點與圓上一點的最短距離為改點到圓心的距離減去半徑.

解 如圖所示，連接DO交圓于F，并延長交圓于E.圓的半徑r=2.

由圓的性質知：DF為D到圓上任意一點距離的最小值，

故DF≤DM.

∵DM=MN，∴DM=MN.

∵EF為直徑，∴MN≤EF，∴DF≤EF，∴OD-OF≤EF，

即OD≤OF+EF=3r=32，∴x20+y20≤32.

又x0+y0-2=0，

∴x20+（2-x0）2≤32，

解得1-2≤x0≤1+2.

2.幾何角度二：利用軌跡的位置關系構造不等關系：利用直線與圓的三種位置關系及圓與圓的五種位置關系構造不等關系.

解 ∵DM=MN，∴M為DN中點.

設N（x1，y1），則Mx1+x02，y1+y02，由于M，N在圓上，則

x1+x022+y1+y022=2，x21+y21=2，

即（x1+x0）2+（y1+y0）2=8，x21+y21=2，

∴（x1，y1）是（x+x0）2+（y+y0）2=8，x2+y2=2 的解，

∴圓（x+x0）2+（y+y0）2=8與圓x2+y2=2有公共點，即為相交或者相切（內切與外切），

∴2≤x20+y20≤32，即2≤x20+（2-x0）2≤32，

解得1-2≤x0≤1+2.

3.代數角度：利用函數構造不等關系：直線與圓相交，一定要抓住弦心距這個關鍵量，抓住特征三角形這個特殊圖形，探尋弦長、半徑及弦心距之間的關系.

解 連接DO，過O作OG⊥MN于G，則G為MN中點，且DG=3ON，設OG=d，

則ON=2-d2.

在Rt△DOG中，

DO2=OG2+DG2=OG2+（3ON）2

=d2+9（2-d2）=-8d2+18.

∵0≤d<2，∴0≤d2<2，∴0

∴0

解得1-2≤x0≤1+2.

本題較好地闡述了在解析幾何中如何去探求不等關系，要從圖形的結合屬性，直線與曲線的位置關系，曲線與曲線的位置關系，函數等角度去構造不等關系，這些問題的解決考查了學生直觀想象、邏輯推理和數學建模等核心素養，對學生發現問題、分析問題及解決問題的要求比較高，需要在平時的教學中多引導學生去思考，去實踐.