圓冪定理所蘊含的數學思想

王歡歡

【摘要】數學思想在教學過程中的滲透有利于鍛煉學生的邏輯思維與創造性思維.圓冪定理揭示了過同一點的弦，切線及割線之間存在的比例關系.本文主要探討圓冪定理在中學平面幾何運用中的三類數學思想，旨在對圓冪定理的教學提供一些參考.

【關鍵詞】圓冪定理;數學思想;統一性

數學思想是對數學知識、理論、方法和規律性的本質認識，是從某些具體的數學內容和對數學的認識過程中提煉上升的數學觀點，它在認識活動中被反復運用，帶有普遍指導意義，是建立數學和運用數學解決問題的指導思想.常見的數學思想有數形結合思想、分類討論思想、函數與方程思想、極限思想等.

圓冪定理是相交弦定理、切割線定理、割線定理及推論的統稱，其中相交弦定理與割線定理被歐幾里得編入了《幾何原本》（第三篇的第35個命題和第36個命題）.這三個定理可以統一地表示為：過一定點P向圓O作任一直線交圓O于兩點，定點P到兩交點的距離之積為定值PA·PB=|OP²·r²|（|OP²·r²|），即如下圖所示.

圓冪定理不僅在初中解平面幾何題中有所涉及，在人教A版高中數學教材選修4-1第一章第三節對圓冪定理也有詳細的介紹，是幾何中的重要定理，因此，對圓冪定理的研究有很多.參考文獻[1]-[3]從圓冪定理的應用角度探討圓冪定理;參考文獻[4]-[6]從圓冪定理的推廣角度研究圓冪定理;參考文獻[7]-[9]從教學設計角度研究圓冪定理.本文主要從數學思想方面探究圓冪定理，總結了圓冪定理在定理所蘊含的幾何與代數轉化的數學思想，幾何中的運動變化思想，數學的統一思想三類數學思想，并由此提出了一些教學建議.

一、幾何與代數轉化的思想

圓冪定理描述了滿足特定位置關系情況下的線段之間的數量關系，實質上就是把線段之間的長度關系用代數上的比例關系表達，因此，圓冪定理本身就可以看成是幾何與代數的轉換.在幾何證明過程中，恰當地運用圓冪定理可以將幾何問題轉化為代數問題，從而簡潔地解答幾何問題.例如，運用圓冪定理求線段的長可以利用比例關系設出方程，解答方程得到未知線段的長.運用圓冪定理證明線段的長相等可以利用線段之間的比例關系的轉化來證明.雖然學生在學習及應用圓冪定理過程中能夠明確感受到將一個復雜的幾何問題，有時把它轉化為一個代數問題會更好地解決，但這僅僅是學生的一種數感，需要教師在教學過程中不僅滲透這種幾何與代數轉換的思想，還要對這種方法進行總結，以便學生在遇到幾何問題時不僅僅局限于聯想幾何方面的知識，還能有將幾何問題轉化為代數問題的思維.

二、幾何中的運動變化思想

在圓冪定理中，將弦內分（或外分）成兩條線段的定點的位置是任意的，可以在圓內、圓上、圓外.因此，可以把它看成一個“動點”.當這個“動點”運動到圓內時，出現相交弦定理;當“動點”運動到圓外時出現割線定理，而這時將其中一條割線視為“動直線”變換到切線位置時就會出現切割線定理.在上述基礎上，保持切線和“動點”的位置不變，將割線繞“動點”旋轉使它經過圓心.設“動點”P（P在圓外）與圓心O的距離為d，圓的半徑為r，切點為A.根據切割線定理可以得PA²=（d+r）（d-r）=d²-r².這就把三個定理寫成了圓冪定理的統一的形式.教師通過這種運動變化的思想來設計教學過程，不僅能使學生清楚明了地看到三個定理間的關系，而且還能加深學生對圓冪定理統一形式的理解.更重要的是讓學生體會到幾何中的許多問題都來自同一模型，雖然圖形中的某些要素的位置關系不同，但本質是相同的，培養學生的辯證思維能力.

三、數學的統一性

（一）定理形式的統一性

相交弦定理、切割線定理、割線定理都能夠統一成一種形式，即過一定點P向圓O作任一直線交圓O于兩點，定點P到兩交點的距離之積為定值（該點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕對值）.

（二）證明結果的統一性

歐幾里得在《幾何原本》中運用了等面積法證明相交弦定理和割線定理，在高中數學選修4-1中運用了相似三角形來證明圓冪定理，還有人用極坐標來證明圓冪定理.雖然證明方法不同，但是，最后得到了相同的結論，反映了證明結果的統一性.

定理形式的統一方便學生對公式的記憶，證明結果的統一讓學生感受到數學“殊途同歸”的魔力.教師在教學過程中應帶領學生一起鑒賞數學的統一美與簡潔美，感受數學的魅力，增加學生對學習數學的興趣.

在圓冪定理的教學設計中，教師滲透幾何與代數轉換的思想，運動變化思想，并引領學生鑒賞數學的統一美，筆者認為會取得好的效果.

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