整合教材典型問題 發展學生數學學力

【摘 要】數學學力是具化數學核心素養的現實路徑，數學學力的發展有助于學生數學核心素養的提升。單元復習課是發展學生數學學力的重要課型，通過教材典型問題的整合，能發展學生“數學地提出問題”“數學推理論證”“數學地解決問題”“數學表征與變換”“數學交流”等數學學力。單元復習課的教學設計需考慮以下幾點：例題選取突出典型示范，教學設計注重單元整體，教學過程關注學生交流。

【關鍵詞】數學學力;數學核心素養;單元復習課;典型例題

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）75-0045-05

【作者簡介】羅建宇，江蘇省張家港市沙洲中學（江蘇張家港，215600）副校長，高級教師，蘇州市學科帶頭人，蘇州市優秀教育工作者。

一、問題背景

筆者曾在教研室工作了幾年，調研中發現，不少高中數學老師不重視設計起始年級的單元復習課。老師的普遍做法是知識羅列，或以習題課代替;稍微有點思考的老師，則將其設計成了專題復習課，拔高了要求，有了高三的味道，導致單元復習課缺乏針對性、有效性和系統性。更有甚者，在一個章節教學剛結束就立即開啟了下一章節的新授課教學，直接忽視了單元復習課的存在，更不利于學生整體地認識章節知識。

筆者在一次教研活動中，在高一年級開設了一節《函數復習課》，表達了“整合教材典型問題，發展學生數學學力”的觀點，獲得一致好評。筆者想通過這一節課的教學展示，引導大家關注高一年級的單元復習課。那么，如何上好這一節高一的單元復習課呢？我思考了如下三個問題：（1）選題要典型;（2）復習內容要涵蓋函數的主干知識和思想方法;（3）讓學生“編制”一些問題，增強參與性并提高問題意識。針對上述問題及高一學生學習特點，筆者從課本一道經典習題的函數模型出發進行教學設計，逐步通過分析、變式、聯想、引申等過程，對函數的主干知識和思想方法進行復習，且使得到的“新”函數模型仍是典型的函數模型，從而將教材典型問題進行串聯整合，以期望引導師生關注課本典型習題，感悟習題蘊含的重要知識與方法。

為展現樸實卻靈動的數學課堂，傳遞在課堂中不過分依賴“導學案”的思想，筆者采用了留白的方式（變式、引申、串講等問題不印出來，根據教學實際情況在課堂上引出）設計了導學案（見圖1），課前發放給學生預習。

二、教學設計與生成

1.預習設計。

例題與變式1、2見圖1。

【設計意圖】函數f（x）=是通過指數函數y=2與常函數進行四則運算得到（事實上，以后碰到的函數都是基本初等函數進行四則運算得到），是一個典型的函數，蘇教版高中數學必修1第71頁第14題就是討論它的單調性。在章節復習教學中，以它為例作為函數模型來研究其圖象與性質，既符合學生的認知，又是合適的教學起點選擇。對基本初等函數（指數、對數、冪函數）的新授課教學，是通過研究它們的圖象來歸納得到相應函數性質的，而對一個由基本初等函數進行運算得到的新函數研究，雖然也是研究圖象性質，但更應從整體把握（研究）性質，再通過對性質的研究來作函數的圖象（草圖），基于此，設計上述問題和變式。

學生對以上問題在課前進行解答，課堂上通過評講復習函數的奇偶性、單調性、值域等函數主干知識。通過對函數主干知識的復習，揭示有關問題：（1）由于其值域為（-1，1），故該函數圖象有漸近線y=±1; （2）函數奇偶性的實質是函數對稱性，在判斷函數奇偶性時，其解析式的形式也是越對稱越好（解析式的對稱，也是數學對稱美的體現）。如果將該函數解析式分子分母同除2，得f （x）=，此時的解析式顯得更對稱，更容易看出其奇函數的性質;（3）函數的單調性是刻畫函數變化的性質，函數解析式中，變量出現的位置越少越便于對其單調性研究，也稱解析式越簡潔越好。因此，這類分式函數在研究其單調性前，應先將其解析式進行等價變形——“分離常數”。

變式2的題干部分沒有寫完，它是一個簡單問題：解不等式f （1-m）+f （1-m）<0，利用例1前兩問的結論即可完成。這樣設計主要考慮以下兩個原因。

（1）選擇這個問題，是為了完整復習單調性定義中包含的三個方面。我們知道，單調性（以單調遞增為例）定義：如果對于區間I內的任意兩個值xx，當時x

（2）這個問題在課堂上解答并不難，選擇在學案上留白，于課堂中生成，更能彰顯課堂的靈動，同時通過變式讓學生鞏固和回憶以前學習的知識（題型），為下一步的“聯想”做鋪墊。

2.聯想設計。

請回憶先前學習的知識和解答過的問題，基于上例函數提出一個數學問題并解答。

學生通過思考和相互協作，整理提出了下列問題：若m≥f（x）恒成立，求實數m的取值范圍;若關于x的不等式m≥f（x）恒有解，求實數m的取值范圍;若關于x的方程f（x）=m有解，求實數m的取值范圍;試探究關于x的方程|f（x）|=m的實數解個數;求證：方程f（x）=有且只有一個實數根。

【設計意圖】讓學生分組解決問題并闡述解決方法，復習相關知識點，使概念、思想、方法成系統。通過這一教學環節的設計，不僅讓學生回憶了已學知識，而且知曉這些知識之間的聯系和區別，經歷提出問題、分析問題、解決問題過程，有效培育學生“四基四能”，提升學生數學核心素養。

3.探究設計。

變式3見圖1。

【設計意圖】變式3實則為探究設計，它的解決，大部分學生是依據奇函數定義，通過運算得到k=±1，用此類問題訓練運算能力也是設置本題的目的之一。選用本題還有兩個想法，一是解決此類填空題時，可以奇函數的定義域特點作考慮，若其為R，由f（0）=0，得k=1，若其不為R，由定義域（即x≠log2（-k））關于原點對稱，可得k=-1;二是當k=1時，函數為例題所選函數（已研究），當k=-1時的函數如何研究，為下一步“串講”做鋪墊。

4.串講設計。

串講1：作出函數f（x）=的簡圖。

串講2：示例中的解析式，能否用函數表示。

【設計意圖】串講1中的函數仍然是典型的函數模型，要作其草圖，需要像探索例題的每個小問一樣，先研究函數性質，通過性質整體把握函數特征，再作出函數的圖象（草圖），進而鞏固這一研究函數圖象性質的一般方法。將串講1的函數圖象與例題中的函數圖象畫在同一個坐標系中（可用數學軟件演示），可以發現，例題中函數零點的位置對應串講1中函數圖象的漸近線，揭示了互為倒數關系的函數的圖象關系。

設置串講2，通過運算得到x=log，若將式子中的x，y互換，即得y=log，為例題中函數的反函數。雖然“反函數”的概念在高中不作教學要求（列入教材“鏈接”知識），但這個函數模型仍是對數函數學習中的典型函數，對其性質的研究是課本上的習題，如何研究其性質和圖象，又回到了我們這節課的主線。通過這個問題的設置，體會函數之間的轉化，有利于培育學生的抽象、推理、建模等數學素養。

三、幾點思考

《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確提出我國高中學生的數學核心素養為：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析。華東師范大學徐斌艷教授在概述國內外數學學力研究的基礎上，提出了我國數學學力模型的構建思路，即在具有國際視野、體現我國特色的前提下，將數學教學看作數學活動的教學，以數學活動為視角，提出包括數學地提出問題、數學表征與變換、數學推理論證、數學建模、數學地問題解決和數學交流等六大數學學科核心能力。[1]數學核心素養與數學學力并不是相互獨立的。數學核心素養對整個數學教學具有指導意義，起著統領性的作用。數學學力則可視為在核心素養指導下的具體的操作方法，是具化數學核心素養的現實路徑。筆者在本節課的教材典型問題的整合中，充分考慮了學生數學核心素養的形成和數學學力的發展。筆者以為，單元復習課是發展學生數學學力的重要課型。為了更好地促進單元復習課的實施，也為了更好發展學生的數學學力、提升學生的數學核心素養，在進行單元復習課時，需要考慮以下幾點——

1.例題選取突出典型示范。

當前的高一復習課中，照搬高三復習資料中的成品例題現象嚴重，導致教學起點過高、難度過大，進而造成教學重心偏移，起不到基礎年級應有的復習效果。因此，高一單元復習課教學的例題選擇一定要注意針對性、適度性和思考性。[2]實際上，教材中有很多適合學生認知特點的典型例題，對其進行恰當的變式、串講、改編后進行復習教學，能將單元知識內容有機融合，問題解決的方法得以提煉升華，在教學中起到很好的示范作用，對學生的思維訓練與能力提升是有益的。本節課選擇的例題即來源于教材，突出典型示范性，通過系列的變式、改編、聯想、串講，將“函數”一章的知識和方法進行系統的復習和梳理，有利于增強學生的課堂參與性，有效的提升學生的問題意識，發展學生“數學地提出問題”與“數學推理論證”兩大數學學力。

2.教學設計注重單元整體。

由于學生在新課學習中獲得的知識相對比較零散，因此比較容易遺忘或混淆，開設單元復習課就顯得很有必要，這能從統整的角度對本單元的知識進行梳理、歸納、鞏固，以達到厘清知識間邏輯關聯，構建出整章知識網絡，從而使學生對單元知識有整體把握，這既是概念教學的一種重構，也是一種單元整體觀下的教學實踐。

單元復習課教學還應通過示范讓學生學會整理，對單元的知識能夠進行有序合理地建構，通過圖、表的方式，形成一個主線突出、脈絡清晰、體系完整的知識結構。[3]本節課，通過對例題的解析、變式、聯想、串講，梳理了函數問題的一般研究路徑：定義域→基本性質（單調性、奇偶性）→值域→應用（零點問題、恒成立問題、有解問題等）。在此基礎上，辯證看待函數圖象性質的研究方法，新授課教學中采用的是從形到數，即通過對基本初等函數（指數、對數、冪函數）的圖象來歸納得到相應函數性質的;對新函數的研究則采用從數到形，即通過對函數的性質研究來作函數圖象（草圖）。這種思想方法通過單元復習課凸顯和建構出來，形成今后進一步學習的經驗和認知方式，正是單元復習課的價值所在。因此，單元復習課應該是研究內容與研究方法的融合，更重要的是，通過單元復習課能使學生獲得研究一類問題的基本方法，并能在數學研究過程中，利用掌握的基本方法去嘗試解決其他一些問題，將不熟悉的情境問題轉化為已知的情境的問題并加以解決，有效地發展學生“數學地解決問題”與“數學表征與變換”兩大數學學力。

3.教學過程關注學生交流。

當前的很多公開課、展示課活動中，因為授課老師課前精心做了過于“充分”的準備，常出現學生課前預習過于充分，上課的內容基本提前已知，導學案中呈現內容過多，課堂上學生對習題的變式引申的體會不深刻，思維鍛煉深度不夠的現象。[4]這樣的課堂雖然看似熱鬧，學生參與度高，卻思維訓練不到位，華而不實，不能讓學生經歷真正的數學活動并積累基本活動經驗。數學活動經驗，是動作與心智交互作用的結果，要引導學生親身經歷，要“帶著問題”親身投入到數學活動中來，進行積極地觀察、操作、實驗、猜測、歸納、推理等活動，形成豐富的數學活動經驗。因此，在數學課堂教學中，要注重學生的主動參與、成果交流，強調數學活動經驗在學生的經歷、自主探究和交流共享中的自然生長。教師不能急于數學知識的生成，不要讓學生的經歷、自主和交流演變成假性參與和假性交流，要把時間和機會留給學生，把課堂還給學生，把自己的精力放在鼓勵學生自主探索和合作交流上，如此才能有效地發展學生“數學交流”這一數學學力。

當然，我們還應認識到數學學力的發展不可能僅通過一節課、一種課型就能發展起來，學生數學學力的發展是一個長期的過程。本文僅以整合教材典型問題作為切入點，探討在單元復習課中如何有效地發展學生的數學學力，其他課型如何發展學生的數學學力，發展學生數學學力還有其他方式、方法嗎等問題。教學研究永無止境。

【參考文獻】

[1]徐斌艷.數學學科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（6）：67-74.

[2]丁益民.單元復習課該怎么上：以高一“函數”單元復習課教學為例[J].中小學數學，2019（1-2）：11-13.

[3]李柏青.復習課單元整體教學設計的實踐與思考[J].數學通報，2013（3）：31-36.

[4]羅建宇.構建樸實、高效、厚重、靈動的數學課堂：記一節公開課的實踐與反思[J].數學通報，2015（4）：39-41.