七年級數學教學中分類討論思想的應用分析

摘 要：初中數學是初中教學體系中的重要組成部分，數學學習需要掌握許多數學思想，比如分類討論思想、數形結合思想、方程思想等。分類討論思想是一種根據數學對象本質屬性的異同，將數學研究對象分為不同種類的數學思想，它貫穿于數學學習的整個過程，也是近年來中考考查的熱點之一，是教學的難點。本文結合七年級數學的教學實踐來討論分類思想的實際運用。

關鍵詞：七年級;數學教學;分類討論思想

一、 步步為營，在初中數學教學的過程中逐步滲透分類思想

（一） 在基本概念的理解中，滲透分類思想

七年級學生剛剛從小學進入中學，初中數學相對于小學數學其難度加大了許多，一些學生內心會產生恐懼心理。因此，教師應根據現階段學生心理以及身心特點巧妙編寫教學方案，將初中復雜的數學知識變得簡單化，消除部分同學的畏懼心理，從而提高學生的學習效率。而分類思想剛好能夠滿足以上需求。教師在教學數學基本概念時可以從實際生活入手，比如，在生活中我們都有將衣服以及文具分類的習慣，教師可以作為切入點，將數學分類思想滲透到數學概念中，以便幫助學生加深對數學概念的理解與認識。如教學有理數的兩種分類方法：第一種將有理數分為整數與分數，整數分為正整數、零、負整數;分數分為正分數與負分數。第二種是將有理數分為正有理數、零、負有理數。經過以上兩種分類，可以讓學生了解到有理數在不同的分類標準下有截然不同的理解，幫助學生在分類的過程中充分的理解有理數。

（二） 在知識生成過程中，巧用分類思想

新課程改革提倡從實際生活引導出數學問題，即以“生活教學”為主。因此，在實際數學教學過程中，尤其是在某些公式或者數學性質的教學時，教師要善于引導學生了解公式或者數學性質的推理過程。例如，教師在教學有理數的乘除法則時，可以從三個方面引導學生進行歸納，分別是同號兩數相乘、異號兩數相乘以及正負數與零相乘的情況，最后學生可以得出“同號得正，異號得負，任何數與零相乘都等于零”的數學結論，以上討論的方法具有完整清晰的思路，能夠讓學生初步體會到分類思想的優勢所在。

二、 循序漸進，在解題教學過程中培養應用分類討論方法

數學的教學是數學思維活動的教學。在注重基礎知識和基本技能的教學中，我們更加要注重數學思想方法的培養，分類討論思想是初中數學的“核心”思想。在實踐教學中，針對不同的課型，設計不同的教學思路來滲透數學分類思想，引導學生積極參與數學教學活動，體會數學方法的價值。

（一） 概念型

有些數學題目需要結合數學概念來進行求解。其中最為典型的數學知識點是絕對值問題。例如：

已知|x+1|=5，求x的值是多少？

分析：首先我們從絕對值的基本性質|a|=b，a=b或者a=-b（a不等于0）可以知道x的值有兩種情況：第一種，當x+1的值大于0時，即x+1=5，解此方程得x=4;第二種情況，當x+1的值小于0的時候，即x+1=-5;解此方程得x=-6。

所以這一題的答案為x=4或者x=-6。

不難看出，這一題主要考查學生對絕對值基本性質的理解，學生只要在理解絕對值基本性質的前提下，將題目分為兩種情況去進行討論，進而得到問題完整的答案，其主要還是鍛煉學生的分類討論的能力。

思考：數學概念是數學教學的基礎，數學概念涉及數學思想方法，如分類討論思想。在數學教學中，我們要抓住一些典型的數學概念，來引導學生分類討論。

（二） 不等式型

不等式數學知識點同樣是運用分類討論思想的重點，學生必須根據參數的不同取值來進行討論。例如：

試比較x-3與3-x的大小。

分析：通常情況下，這類題目每個學生都能做出答案來，但是可能學生答不完全。一般來講，遇到這種表達式比大小的題目，常常使用作差的方法，通過分類討論的方法得到x不同的值，所以解決此類問題的具體方法如下：

解：作差：x-3-（3-x）=0，解得x=3;

下面分類討論：

當x=3時，有x-3=3-x;

當x>3時，有x-3>3-x;

當x<3時，有x-3<3-x;

（三） 圖形特征型

有時在學習幾何圖形的過程中不確定圖形的特征，需要進一步討論得出圖形的完整信息。例如：

已知△ABC，其周長為20cm，AB=BC，其中一邊邊長是另一邊邊長的2倍，問AC長多少？

解析：由于AC邊不固定，可以分兩種情況來考慮，第一種：2AB=2BC=AC;

第二種：AB=BC=2AC。所以具體解題過程如下：

解：設AB=BC=x

①當2x=AC時，

列得方程式x+x+2x=20;解得x=5cm;則AC=10cm。由三角形任意兩邊之和必定大于第三邊的性質可以知道x=5不符合題意，故舍去。

②當AC=x2=AB=BC時;

可以列得方程x+x+0.5x=20，解得x=8cm，則AC=0.5x=4cm;符合題意。

答：AC長為4cm。

思考：在問題解決過程中，可以利用分類討論的思想，反思數學解題過程。如本題設計的三角形三邊問題，三邊長能不能構成三角形，需要在學生解完題目后進一步思考：結果完整了嗎？答案全面了嗎？在問題的解決中，分類思想有利于培養學生數學問題思考的全面性和嚴謹性。

（四） 方程型

有些應用題必須通過列方程進一步討論才能得出最終的答案。例如：

初春之際，七一班與七二班兩個班級的學生準備去某一個景點春游，現在已知景點的售票模式是這樣的：當購票人數在1～50人之間，門票價格是每人15元，購票人數在51～100人之間，門票價格是12元，100人以上，門票價格是每人10元，現在已知兩個班級共103人（七一班人數多于七二班人數），若每一個班單獨購買門票，需要的總費用是1500元;問：

（1）若兩個班合在一起購買門票需要多少錢？

（2）每個班各有多少名學生？

解析：第二問對于同學來講或許有些難度，不過在已知條件下可以推理出，七一班人數已經超過50人，因此，學生可以這樣解決第二問：先設七二班人數有x人，當x>50時有12（103-x）+12x=1500;當x<50時，有12（103-x）+15x=1500;這樣就可以得出x的具體數值，之后根據實際情況求解即可。

總的來講，這也是考查學生分類討論思想的一種。

思考：分類是討論的前提，討論是分類的目的;任何知識的學習，如果知識停留在數學問題的解決上，效果是不明顯的，學生也不能很好的把握。在實際問題解決中，結合問題情境來引導學生分類討論。

（五） 圖形結合型

由于七年級學生空間思維想象能力有限，在遇到比較抽象的題目時就顯得吃力，教師要善于將數形結合思想與分類討論思想互相融合，幫助學生理解抽象的數學題目。例如：

已知現在平面內有三條直線，現在讓這三條直線的任意兩條相交，問三條直線的交點有幾個？

解析：解決這類題目，只靠自己想象很難想到全面的答案，這時候就要用到數形結合與分類討論的方法了。就像這題，可以這樣畫出圖形：

經過以上分析，可以了解到何時使用分類討論的思想去解決問題，同時可以得出進行分類討論的基本方法：首先通讀整個題目，了解題目要考查的屬于哪一方面的知識;其次，根據考查的知識點，確定分類標準，進行正確合理的分類;最后對分類進行必要的討論并與實際情況相比較，進行歸納總結，得出合理的答案。

三、 夯實提升，讓分類思想成為數學學習中基本的數學思想

（一） 培養學生良好的數學學習習慣

良好的數學學習習慣是學好數學基礎知識的前提，特別是初一的學生。在方法教學過程中，我們要注重學習習慣的培養，如認真審題的習慣，先讀懂題目，抓住一些關系的條件或信息;學會分析題目，能夠結合題目，從數和形兩個角度來引導學生分類;學會問題反思的習慣，能夠結合實際，用分類思想來反思自己的解題是否完整。

（二） 強調分類討論過程的原則性

“不重不漏”，這是數學中分類討論問題必須遵循的基本原則。分類應按同一標準進行，每次分類不能同時使用幾個不同的分類根據，即為同一性原則，以避免分類過程的“不重”。還有分類應當遵循相稱性原則，即分類后子項外延的總和，應當與母項的外延相等，這就是分類要做到的“不漏”。

（三） 提高學生在分類討論時的思維縝密性

扎實的數學知識是學生進行多種情況討論問題的基礎，只有見過這類題目，才能相應的給出解決方案。因此，教師在教學過程中要為學生還原問題的全部情況，確保講解過程中思維的縝密性，提高學生的學習效率與解題能力。

四、 結束語

分類思想是數學教學中基本的數學思想。在解題過程中運用分類討論思想能夠將復雜的數學問題簡單化，使解題思路變得清晰，有助于提高學生的解題效率和正確率，為以后的數學學習打下堅實的基礎。

參考文獻：

[1]汪小燕.七年級數學教學中滲透數學思想方法策略初探[J].中學數學研究（華南師范大學版），2018（2）：36-37+4.

[2]容伊夢.分類討論思想在七年級數學教學中的有效植入[J].新課程（中學），2016（11）：78.

作者簡介：張安定，浙江省永康市，浙江省永康市油川初級中學。