以發展學生核心素養的問題鏈教學

摘 要：本文筆者從引進無字證明圖證明兩個銳角差余弦公式的問題情境入手，通過設置具有邏輯關系的問題鏈，引導學生在最近發展區內思考問題和解決問題，培養了學生的邏輯推理的思維能力和數學運算能力，提升了學生的數學核心素養。

關鍵詞：核心素養;問題情境;問題鏈;邏輯推理

一、 教學背景分析

本節課是高中數學必修4（人教A版）第三章3.1.2兩角差的余弦公式的內容，教學安排是1課時。本章是以兩角差的余弦公式作為基礎來推導其他的公式，因此本節內容對于后續內容三角變換、三角恒等式的證明和三角函數式的化簡、求值等三角問題的解決有重要的支撐作用。筆者所在的地區考慮到知識的系統性，必修4的教學順序采取“三角函數——三角恒等變化——平面向量”，先把三角函數學完，再學平面向量，然后在平面向量的應用舉例中安排用向量法證明兩角差的余弦公式的應用探究題，這樣安排既不影響向量的工具性價值，又不割裂三角函數知識的系統性。所以在學習本章之前學生沒有學習過向量的相關知識，因此筆者先引進無字證明圖證明兩個銳角差的余弦公式的教學情境，以激發學生的學習興趣與熱情，后又以問題鏈的教學模式在單位圓中將其公式擴展為任意角，這樣不僅有利于提高學生的參與度，還有效地培養了學生的數學核心素養。

二、 教學過程

設計意圖：例1呼應環節2的問題提出，例2是對公式的簡單逆用，例3及思考是對公式的一個綜合運用。

環節5 課堂小結，提煉思想方法

1. 我們要深刻理解和領會在差角的余弦公式的形成過程中，蘊涵著豐富的數學思想、方法和技巧，如數形結合思想、化歸轉換思想、歸納法、合情推理、構造法、換元法等.

2. 在差角的余弦公式運用中，要注意角的靈活變換，如，α=（α+β）-β，2β=（α+β）-（α-β）等，其中α，β既可以是單角，也可以是復角，同時解題時要注意公式的正向、逆向以及公式的變式形式的選擇.

三、 教學反思

本節在教學設計上，力求達到知識與能力雙重提升。知識上重點為建立公式，學會變換，能力上發展學生的推理和運算的能力。本節課的重難點是公式推導，在沒學過向量的前提下進行兩角差余弦公式的推導更是難上加難。如何做到讓學生深刻并理解掌握兩角差余弦公式的推導，從而發展學生的核心素養，筆者認為問題鏈的設置功不可沒。

（一） 營造問題情境，激發學生學習興趣

本節課從問題3開始，就鼓勵學生大膽的猜想兩角差余弦公式，接著讓學生驗證自己的猜想cos（45°-30°）=cos45°-cos30°是否成立，學生通過簡單的驗證發現自己的猜想并不成立，那么公式應該是什么呢？這時學生就會非常渴望知道兩角差余弦公式到底是什么。于是適時引入20世紀90年代末美國《數學雜志》的兩角差余弦公式的無字證明圖。這張圖由簡單的矩形與直角三角形構成，并且清晰明了的展現了兩角差余弦公式，還讓學生感受到了我國現代數學與世界數學的緊密聯系。這讓學生學習兩角差余弦公式的興趣達到高潮。

（二） 設置具有邏輯關系的問題鏈，發展學生的邏輯推理能力

引入無字證明圖能快捷省時的得到兩角差余弦公式，但要把公式中的兩個銳角推廣到任意角，就需要注意引導學生如何應用對比、聯系、化歸等思想去分析、解決問題，強化分類討論的數學思想和轉化與化歸的思想來指引整個證明過程。這些方法與思想就要轉化為有邏輯關系的具體問題鏈，讓學習根據這些問題鏈積極思考。本文通過問題7到問題11這5個循序遞進的問題鏈，引導學生思考問題、發現問題和解決問題，最終突破重難點取得兩角差余弦公式。學生在問題鏈的引導下探究兩角差余弦公式本質的過程中，發展了邏輯推理能力，提升了數學素養。

（三） 在學生的最近發展區設置問題鏈，提高課堂效率

在學生的最近發展區設置有梯度的問題鏈，有助于激發學生的學習興趣、發揮學生的學習主動性、提高課堂的參與度。探究2核心是利用

|P0P3|=|P1P2|得到兩角差余弦公式，但從單位圓中直接得到|P0P3|=|P1P2|嚴重脫離了學生的最近發展區，所以筆者加設了問題8、問題9，降低難度，讓學生很自然的找到思考方向，最后收獲了兩角差余弦公式的證明，提高了課堂效率。

總之，通過設置具有邏輯關系的問題鏈，引導學生在最近發展區內思考問題和解決問題，培養了學生的邏輯推理的思維能力和數學運算能力，提升了學生的數學核心素養。

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作者簡介：游明霞，福建省福安市，福安市第一中學。