數學課本習題在高三復習中的價值再發掘

【摘 要】課本習題在新授課時主要發揮的是鞏固作用，其教育功能和價值還有待挖掘。在高三數學復習時，教師不應只青睞課外習題而忽視課本習題，應從完善知識體系、促進推理能力、感受數學魅力三個方面來挖掘課本習題的作用。

【關鍵詞】課本習題;高三復習;習題教學

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2019）67-0036-03

【作者簡介】李昌，南京師范大學灌云附屬中學（江蘇灌云，222200）教師，高級教師。

一、引言

在高三復習教學中，不少教師青睞課外習題，特別信奉高考模擬題、名校考題，輕視課本習題（本文指蘇教版高中數學教材上的“練習”“習題”和“復習題”）。他們認為課本習題太基礎，難度不能直接達到高考要求，加之在新授課時已經做過講過，沒必要“炒剩飯”。這種意識不僅將學生引向了課外習題組成的題海中，而且也削弱了課本中習題的作用。課本習題對于高三復習教學是否還有價值，或者說課本習題的教學價值在新授課時是否發揮殆盡呢？為此，有必要對課本習題的教學價值與功能加以分析。

二、課本習題的價值分析

課本習題有重要的教學功能，它是教材的有機組成部分，是經過編者精心挑選的。新授課的教學多以知識理解為教學目的，那時課本習題一般以“模仿性習題”的形式出現，主要起鞏固知識、評價教學即時效果的作用。由此可見，彼時的課本習題發揮的只是顯性的練習功能，其隱性的教育功能、發展功能等還沒有得以發揮。

此外，課本習題功能的發揮受多種因素的影響。因為習題的功能發揮程度會受到課型、教學環節等客觀因素的影響。例如同一題目在新授課、習題課、復習課、試卷講評課、作業環節、測驗環節的教學功能和價值是不一樣的。另外，習題功能發揮過程是動態和生成的，會受到教學情境的影響。例如同一個教師在不同的教學節點、不同認知水平的教學班級用同樣的教學方法教授同樣的題目，其教學效果絕不相同，題目的教學功能和價值也就大相徑庭。

由此可見，即便是高考真題、名?？碱}，若沒有經過合理篩選、恰當組織，僅經過“一講一做”是很難發揮出應有的效果的。相反，對于課本習題，因為簡單熟悉，不需要在解答上花太多精力，所以師生可以在解題前后集中精力進行觀察、比較、歸納、抽象、同化、重建、感悟等思維活動，會有事半功倍之效。但其前提是，教師必須找準學生認知、思維發展與課本習題的契合點，對習題加以合理變式、恰當引申，再在課堂上有序組織、精講點撥。以下三個案例是筆者的教學實踐，僅供參考。

三、教學案例

1.一題三用，完善學生知識體系。

【例1】（必修5習題1.3第8題）如圖1，有兩條相交成60°角的直路XX′，YY′，交點是O，甲、乙分別在OX，OY上，起初甲離O點3km，乙離O點1km。后來甲沿XX′的方向，乙沿YY′的方向，同時用4km/h的速度步行。

（1）起初兩人的距離是多少？

（2）t小時后兩人的距離是多少？

（3）什么時候兩人的距離最短？

【教學設計】此題在復習解析幾何的“直線方程”時作引入題目讓學生解答，目的是鞏固基礎知識，體會解析法是解決長度度量問題的基本方法。復習“平面向量”時再次引入，要求學生分別從向量的幾何特征（有向線段）和代數特征（坐標表示）兩方面獨立求解。復習“解三角形”時，再一次要求學生用解三角形的知識求解。教師適時點評，引導學生歸納知識間的聯系、比較方法的繁簡、體會問題解決過程的異同。第三次評講時輔以如下追問：為何解三角形需分類討論，而前兩種不需分類討論？分類討論得出的距離表達式為何形式上完全一致？通過一題三解，以后遇到距離的度量問題，你有何反應？

【設計說明】從學生學習相關模塊的先后順序上看，“解析法”在“平面向量”之前，“平面向量”又在“解三角形”之前，而這道課本習題在教材體系中是“解三角形”的習題，在復習教學時讓其由后而前“歸位索源”，可以達到激活知識點、串成知識鏈、形成知識表征系統，充實學生認知結構的目的。經歷此過程，學生對長度距離等度量問題的表征將有策略性的認知，對解決這類問題的能力也有提升。

2.一題多變，發展學生推理能力。

【例2】（必修4“三角恒等變換”復習題第18題）如圖2，在半徑為R、圓心角為60°的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內接矩形PQMN，使點Q在OA上，點M，N在OB上，求這個矩形面積的最大值及相應的∠BOP值的大小。

【教學設計】在復習“三角函數”的運用時引入題目，先讓學生猜想取得最大值時點P在圓弧上的位置，然后讓學生通過解答修正和驗證猜想。完成后，引導學生思考面積的最值與取點P的位置兩者之間具有必然性。之后進行如下變式教學：

（1）用動畫演示圓心角從銳角經直角變成鈍角的過程，讓學生觀察內接矩形PQMN四個頂點在扇形邊界上的變化情況。

（2）出示圓心角為120°的扇形，要求學生畫出其內接矩形PQMN，并一步猜想矩形面積最大時，圓弧上的頂點的位置。

（3）對比觀察圓心角為60°和120°的兩扇形，對于它們的面積最大內接矩形，猜想它們在面積的數量上、圖形形狀上分別有怎樣的聯系，并思考這種聯系的根據。

（4）若將題目中“相應的∠BOP值的大小”去掉，或者將問題改成“求這個矩形面積的最大值及相應點P在圓弧上的位置”，你打算如何做？是否還能像之前的解答那樣，自然地設“∠BOP=θ”作為建立面積函數的自變量？

【設計說明】觀察的任務是要學生直觀感知到矩形的長和高兩要素在扇形兩邊的橫向或斜向放置具有等效性，以便猜出最值產生條件，目的在于鼓勵學生大膽猜想，培養學生合情推理的能力;修正驗證的過程是讓學生明白圖形的對稱性與面積最大值兩者之間有必然聯系，發展學生的直覺思維能力。

變式（1）是讓學生通過觀察，發現扇形形狀的改變會使矩形四個頂點在扇形的分布情況也發生改變，具體過程是：∠AOB為銳角時，弧上1點兩條半徑3點→∠AOB為直角時，弧上1點兩半徑各1點圓心1點→∠AOB為鈍角時，圓心上的點運動到半徑反向延長線上。

觀察的目的是為變式（2）的猜想做鋪墊，只猜不證既為節省時間也為降低難度，因為此時學生未必找到建立面積函數的入口，學生猜完之后，引出變式（3），學生若遇到困難，則以“大扇形是小扇形的2倍”的圖形直觀為切入點，引導學生實現類比、遷移等認知活動。繼而提出，如果問題是“求圓心角為120°的扇形的內接矩形面積的最大值”，該如何解決。目的是讓學生明白“將120°的扇形對折，變成兩個60°的扇形”，體現的是轉化與化歸思想。在此過程中，學生經歷觀察、猜想、驗證、類比、遷移、轉化等思維認知活動。

變式（3）完成后，在圓心角為60°扇形中改變內接矩形四個頂點位置，要求學生觀察變化過程，四個頂點對矩形的影響有無“先后之別和強弱之分”，得出“地位均等”的結論，然后提出變式（4），目的是讓學生發現題目設問方式的提示性。

事實上，由于四個頂點地位均等，只要表示其中一點，另三點隨之而定。如：以扇形圓心為原點，半徑OB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，設圓弧上點P的坐標為（x，y），相應地，N（x，0），Q（y，y），M（y，0），容易得出矩形面積S=（x-y）y，問題轉化為在條件x2+y2=R2下求二元函數的最大值，學生常用的便捷方法是三角代換，所以還要回到“設∠BOP=θ”來。

由此可見，課本習題在選編過程中，編者會人為降低難度，為學生搭建“腳手架”，這也許是課本習題簡單基礎的原因之一。這也說明，高三復習教學時，教師既要培養學生從題目外在形式去發現解題信息的能力，更應培養他們從題目內容上去辨別知識，并能根據需要選擇恰當的表征形式的能力，而后者關系到學生對知識的理解程度、問題解決的能力和自我監控能力的提升。它們應該成為高三復習教學考量的重點，這也許是課本習題最重要的教學價值。

3.類比對稱，感受數學魅力。

【例3】（必修4習題2.4第21題與必修5習題1.1第8題合并）設△ABC中，設=，=，=，且·=·=·，判斷△ABC的形狀并證明你的結論。

【教學設計】由向量數量積概念，易得||||cosC（π-C）=||||cos（π-A）=||||cos（π-B），化簡整理即得abcosC=bccosA=cacosB，先同除以abc，再由正弦定理變形即得==，即有tanA=tanB=tanC，所以△ABC是等邊三角形。進一步觀察，解答用到的正弦定理在教材體系中屬于向量的下位知識，換言之，解決內部問題依靠了外部力量。若能從向量內部證明，既是對新授課時習題的補證，還表明題目內外兼具和諧之美。我們注意到，三角形的封閉性的向量表征是等式++=，若據此依次將向量積等式中的后一個或前一個替換，以后一個為例，即·（--）=·（--）=·（--），從而得2=2=2，因此有||=||=||，題目得證，和諧對稱之美躍然紙上。

【設計說明】對于本題，學生一般會從數量積的定義入手，引入三角形的內角，再用正余弦定理進行代換完成證明。在教學時，教師可以設法制造審美沖突，激發學生審美欲望，具體實施過程是，待學生解答完成后，引導他們觀察題目條件，讓其發現輪換對稱，再比對結論，使之感受到題目的條件和結論具有和諧對稱的美學性質。學生在有“美感”的同時，通過對比自己解答過程或展示參考答案，產生“不順眼”感覺，從而形成沖突，激發欲望。完成后再引導學生比對條件、解答所用知識各自所屬模塊，探索隱藏在題目內部的和諧美。

概而言之，課本習題是內蘊深厚的資源寶庫，不該輕視。高三復習，與其對外來資料實行“拿來主義”，不如潛心研究課本習題，充分發揮其教育功能和潛在價值。<＼＼ysc02＼工作盤 （D）＼邱＼江蘇教育＼中學＼06＼KT1.TIF>

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