正反結合法在數學學習和教學中的應用

魏選平

摘 要 本文詳細介紹了正反結合的教學法在小學、中學及大學學習中的體現，反映出辯證的哲學思想，此方法對現實的數學教學具有很強的指導性。

關鍵詞 正反結合 哲學 數學教學

中圖分類號：G623.5文獻標識碼：A

0引言

矛盾無處不在，萬事萬物都有矛盾。一切事物的發展過程中，都有主要矛盾和次要矛盾，同一矛盾中又有矛盾的主要方面和次要方面。反映在生活中有正有反，有好有壞，有上有下，有左有右，有前有后。體現在數學上將貫穿于小，初，高，大的始終。數學是對客觀世界從數量關系和空間位置兩方面進行研究的學科，數學作為具體科學是哲學的體現，哲學又為數學的學習和研究提供了指導。無論數學計算和應用題，正反結合的原理都可以用來很好地指導解題過程。此外，該原理也在數學學習中發揮著巨大作用。

1正反結合法的應用

1.1正反運算是方程和等式移項的本質

小學四年級都學習了含有未知數的等式為方程。方程的移項原理是移項時，加變減，乘變除。那么，這樣簡單地推理出移項時一種運算變成它的反運算。

那么，這樣的移項原理也來自于實際生活。物理上用天平秤物質質量時，左物右碼，左邊放物質后，右邊如放1克和2克的砝碼天平平衡時，體現左邊物質質量為3克，可用1+2=3表示。如左邊去掉1克重物，要使天平達到新的平衡，需去掉右邊的1克砝碼。這就相當對上邊1加2等于3的等式兩邊同時減去1，就變成2=3-1，這也相當于1由等號左邊移到右邊變成減1了。初步說明移項原理為加變減。同樣，4x2=8的等式兩邊同時除以2，就變成4=8？。這也相當于2由等式左邊移到右邊乘變除的道理。這都說明等式移項的原理是一種運算變成它的反運算。

初中的乘方與開方是一對反運算，在等式移項中也能體現。如式1所示，如2的立方等于8，將立方運算由左移到右邊就變成了開立方，即2等于8的開立方。

23=8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（1）

高中的指數與對數是一對反運算，在等式移項中也能體現。如式（2）所示，如2的立方等于8，當底數2由右邊移到左邊時，就由指數運算變成了對數運算，即形成3等于以2為底數的8的對數。

23=8? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3=log? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

大學中的微積分也是正反結合的體現，如式（3）所示，x立方的導數等于x平方的3倍，將導數運算由等式的左邊移到等式的右邊，就得到x立方等于x平方的3倍的不定積分。

（x3）'=3x2? ? ? ? ? ? ? ?x3=3x2dx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （3）

1.2正反結合的應用

做數學題的過程是用學過的公式和定理進行等量變換下的化簡過程。等量變換保持了所研究問題的性質，使所做的問題不會變為別的問題。化簡是利用加減乘除移項合并化繁為簡的過程，只有化繁為簡才能解決問題，否則，止步不前，或化簡為繁，越做越難，不可能解決問題。正因為推導的每一步都是等量變換，所以，正反結合可利用回推法來驗證每一步推導是否正確。

一個公式，利用移項和等量變換原理可以由一個生發出多個公式。例如：如式（4）所示。路程等于速度乘以時間。移項后可以得到時間等于路程除以速度，也可得到速度等于路程除以時間。三個公式雖然形式不同，但本質一樣，都從不同角度揭示了物體運動過程中路程，速度和時間的關系。如式（5）所示，初中的因式分解和多項式相乘也互為逆運算。其次，解二重積分時，當被積函數是二元函數時，對x和y進行積分，將二元函數轉化為一元函數的過程是二元函數求偏導的逆運算。

s=vt? ? ? ? ? ? ? ? v=? ? ? ? ? ? ? ?t=? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （4）

（a+b）·（ab） = （a2b2）? ? ? （a2b2）=（ab）·（a+b）? ? ? ? ? ? （5）

1.3正反結合的本質及意義

由上可見，方程或等式移項的原理，本質上是在方程或等式兩邊同時進行相同的運算得到的，所以其本質仍然是等量變換。數學是從數量和幾何兩方面對客觀世界進行研究的學科。做數學題的過程是等量變換下的化簡，中間等量變換的每一步形式不同但本質相同，每等量化簡一步就向結論靠近一步，等量化到最簡，既做對做完了題，又揭示了問題的本質。所以，做數學題的等量變換下的化簡過程就是揭去層層偽裝，透過外表看本質的過程。透過外表看本質是一種智惠，凡事只要能透過外表洞察到本質，就能一步到位，少走彎路。另外，做數學題的關鍵是讀懂題，只有在讀懂題的基礎上，才能利用學過的公式定理搭建已知和未知的橋梁。從這個角度來說，讀懂題也就是實事求是，恰當利用公式定理也就是按客觀規律辦事，所以，正確地做一道題的過程就是一切從實際出發，實事求是，按客觀規律辦事的過程。因此，每做對一道題就強化了一切從實際出發按客觀規律辦事的能力。只要堅持一切從實際出發，按客觀規律辦事就能無往而不勝。

等量變換意義重大，生活上講得失相關，喜憂參半，利弊相關。物理化學上有質量能量守恒，哲學上有矛盾的辨證統一律。矛盾普遍存在，事物中的主要矛盾和矛盾的主要方面決定了事物的發展狀態，主次矛盾和矛盾的主次方面的相互依存，相互排斥促成了事物的發展。萬事萬物都遵循自然辨證法，任何事物發展都是辨證的，只有把握好度，才能促成事物穩定長遠地發展。這個度不可能絕對把握好，只能盡力而為地把握，要努力地向這個度去接近。

2結論

綜上所述，正反結合法在方程和等式的移項化簡中作用巨大，在代數式等量推導中每一步的檢驗中也發揮著作用，無不顯示出正反結合的原理覆蓋了數學的方方面面和角角落落。只有有正有反 ，正反結合才能更全面地去分析和解決數學問題。只有正反結合，才能為我們進行數學學習和教學提供指導。