歐拉函數在循環小數中的一個妙用

摘要：在分數化小數問題上，雖然可以利用同余工具求所化成的循環小數的循環節長，但若結合歐拉函數，則可能會事半功倍。本文以純循環小數為例，闡述了如何借助歐拉函數巧求循環節長。

關鍵詞：歐拉函數;分數;循環小數;循環節長

一、問題概述

眾所周知，分數化小數時，所化成小數的類型、位數、循環節長（即循環節的位數），也可以不通過“分子除以分母的結果”得知。對于最簡真分數[ab]來說，依據分母的數字特征和同余工具便可以知道它能化成哪一類小數以及小數的位數或循環節長：

（一）當blength skillfully

K與10互質即（b，10）=1時，[ab]可化成無限純循環小數，且純循環小數的循環節長是滿足[10x≡（mod? ? b）]的最小正整數[x]。

（二）當b與10不互質時，[ab]可化成有限小數或無限混循環小數：

（1）若[b=2α5β] （[α，β]是非負整數），則[ab]可化成有限小數，且有限小數的位數是[max（α，β）]。

（2）若[b=2α5β]k（[α，β]是非負整數，[k]與10互質，[k]>1），則[ab]可化成無限混循環小數，且混循環小數的循環節長是滿足[10x≡1（mod? ? k）]的最小正整數[x]，小數點后不循環部分的位數是[max（α，β）。]

這里，值得探討的是循環節長度問題。僅以純循環小數為例，雖然滿足[10x≡1（mod? ? k）]的最小正整數[x]就是最簡真分數[ab]所化成小數的循環節長，但在具體尋找那個“最小正整數”時，有時會非常繁瑣，因為可能需要逐一考查地尋找。例如[151]，難以一下子就找到那個滿足[10x≡1（mod? ? 51）]的最小正整數[x]，若從小到大逐一考查，則需考查如下16個同余式子，甚是麻煩。

二、歐拉函數的妙用

對于上述問題，若借助歐拉函數，則可縮小考查范圍、事半功倍！所謂歐拉函數就是以正整數b為自變量、不超過b的正整數中與b互質的數的個數為因變量的函數，記作[φ]（b），設b的標準分解式為[b=p1α1p2α2…pnαn]，（[p1，][p2，…pn]為相異質數，[α1，α2…αn]為正整數），可以證明[φ]（b）=[p1α1-1p2α2-1…pnαn-1（p1-1）（p2-1）…（pn-1）] .

三、結語

在循環節長度問題上，盡管歐拉函數可以縮小排查范圍、提高效率，但并不是說利用歐拉函數就一定方便！對于有些最簡分數來說，我們很容易發現那個滿足[10x≡1（mod? ? b）]的最小正整數x，如果還用歐拉函數來找，則“畫蛇添足”。例如[299]，很容易發現滿足[10x≡1（mod? ? 99）]的最小正整數是x=2，即[299]化成小數后循環節長為2（當然也可直接相除），若用歐拉函數反倒麻煩。故本文的“妙用”只是對某些分數而言的（相應小數的循環節比較長且[φ（b）]的正因數易求）。

作者簡介：

畢文玲（1974-），男，河南南陽人，主要從事師范教育研究。