關于非齊次線性微分方程的一個證明

彭興媛

摘 ?要：n階線性微分方程是常微分教材中非常重要的一個部分，因其理論已被深入研究，且應用也非常廣泛，故在第四章中重點學習了線性微分方程的基本理論和常系數微分方程的解法。但關于n階非齊次線性微分方程存在且最多存在n+1個線性無關的解的證明卻并未詳細給出，故本文先給出該證明所涉及到的重要概念，然后再給出該結論的詳細證明過程，為學習該門課程的學生提供一個參考。

關鍵詞：非齊次線性微分方程 ?線性無關 ?解

中圖分類號：G644.5 ? ? ? ? 文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ?文章編號：1672-1578（2019）09-0015-01

1 ? 引言

在第四章里已經學習了n階線性微分方程的概念、解的存在唯一性定理、n階齊次線性微分方程的解的性質與結構，知道了n階齊次線性微分方程一定存在且最多存在n個線性無關的解，以及其中的一個非常重要的定理——通解的結構定理。所以，關于n階齊次線性微分方程的內容基本掌握了，但是在實際情況下，碰到n階非齊次線性微分方程的情況較多，且關于n階非齊次線性微分方程存在且最多存在n+1個線性無關的解這一結論，書上并沒有給出詳細的證明過程，所以本文先給出n階非齊次線性微分方程的定義及性質，然后再給出證明過程。

2 ? 相關概念及性質

2.1 n階非線性微分方程

（dnx/dtn）+a1（t）（dn-1x/dtn-1）+ …+an-1（t）（dx/dt）+an（t）x

=f（t） ? ? ? （1）

其中所有的系數ai（t）（i=1，2，…，n）及f（t）都是區間a≤t≤b上的連續函數。

當f（t）=0時，（1）式就變成n階齊次線性微分方程，所以n階齊次線性微分方程是n階非齊次線性微分方程的特殊形式，這里為書寫方便，將n階齊次線性微分方程記為（2）。

2.2 性質1

如果x1（t）是方程（1）的解，而x2（t）是方程（2）的解，則

x1（t）+x2（t）也是（1）的解。

2.3 性質2

方程（1）的任意兩個解之差必為方程（2）的解。

3 ? 證明過程

對于n階非齊次線性微分方程（1）存在且最多存在n+1個線性無關的解這一結論，本文分兩步進行證明，首先證明方程（1）存在n+1個線性無關的解，其次再證明線性無關的解最多為n+1個。

證明：（1） 設x1（t），x2（t），…， xn（t）是方程（1）對應的齊次線性微分方程（2）的一個基本解組，X（t）是（1）的一個解，則根據性質1有：x1（t）+X（t），x2（t）+X（t），…，xn（t）+X（t）， X（t）均為方程（1）的解。現證明它們是線性無關的，假設存在常數c1，c2，…，cn+1，使得：

c1[x1（t）+X（t）] + c2[x2（t）+X（t）]+ … + cn[xn（t）+X（t）]+cn+1 X（t）=0，

整理后可得：

[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）]+X（t）（c1+c2+…+cn+1）=0。

若c1+c2+…+cn+1≠0，則：

X（t）=–[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）]/（c1+c2+…+cn+1），

即X（t）是x1（t），x2（t），…，xn（t）的線性組合，由方程（2）的解的疊加原理可知X（t）也是方程（2）的解，故與假設矛盾！

所以c1+c2+…+cn+1=0，即得c1x1（t）+c2x2（t）+…+cnxn（t）=0。

又因為x1（t），x2（t），…， xn（t）是基本解組，所以線性無關。

故有：c1=c2=…=cn=0，進而得出cn+1=0。

所以方程（1）有n+1個線性無關的解。

（2） 設方程（1）的任意n+2個解為： x1（t），x2（t），…，xn（t），xn+1（t），xn+2（t），則根據性質2可得：

x1（t）–xn+2（t），x2（t）–xn+2（t），…，xn（t）–xn+2（t），xn+1（t） –xn+2（t）就是n階齊次線性微分方程（2）的n+1個解，故它們線性相關。即存在一組不全為零的一組數：c1，c2，…，cn+1使得：

c1[x1（t）–xn+2（t）]+ c2[x2（t）–xn+2（t）]+ … + cn[xn（t）–xn+2（t）]+ cn+1[xn+1（t）–xn+2（t）]=0，

整理后可得：

[c1x1（t）+c2x2（t）+…+cn+1xn+1（t）]–xn+2（t）（c1+c2+…+cn+1）=0。

故對于x1（t），x2（t），…， xn（t），xn+1（t），xn+2（t）而言，一組不全為零的數c1，c2，…， cn+1，–（ c1+c2+…+ cn+1）是存在的，所以x1（t），x2（t），…， xn（t），xn+1（t），xn+2（t）線性相關。可推知方程（1）的任意m（m>n+1）個解都線性相關。故線性無關的解最多為n+1個。

4 ? 結語

相對于n階齊次線性微分方程一定存在且最多存在n個線性無關的解而言，非齊次方程的線性無關的解的個數多了一個，所以在求解時，一定要區分是齊次線性方程還是非齊次線性方程。

參考文獻：

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