淺談初中數學中方程思想的幾種應用

周慶靈

摘要：方程思想是一種重要的數學思想.用方程的思想去解題是初中數學一種常用的解題方法.本文通過典型例題解析了方程思想方法的三種應用，即方程思想在計算、幾何、函數中的應用.

關鍵詞：初中數學;方程思想;應用

1 方程思想

解析幾何的創立者Rene Descartes 曾經這樣說過：“一切問題都可以轉化為數學問題，一切數學問題都可以轉化為代數問題，而一切代數問題又都可以轉化為方程問題.因此，一旦解決了方程問題，一切問題都將迎刃而解.”盡管這種觀點有夸大，但也從側面反映了方程思想在數學學習中的重要性.

方程思想就是分析數學問題中的變量間的等量關系，建立方程（組），或者構造方程（組），通過解方程（組），或者運用方程的性質去分析、轉化問題，從而使問題得以解決[1].而其中最核心步驟就是找等量關系[2].然而如何運用方程思想解決數學學習、教學、現實應用中的問題呢？關鍵就是設法將問題抽象或轉化為方程模型進行討論和分析.這正是“力圖改變思路（try a switch）”啟發自己思考的“元啟發（meta-heurist-ics）”策略[3].

2 方程思想在初中數學中的應用

方程是代數最基本的內容之一.它研究事物間的等量關系，并為人們提供由已知量推求未知量的重要方法，在數學各分支及其他許多學科都有廣泛的應用[4]. 而方程思想是初中數學中一種基本的思想方法.初中階段我們陸續學習了一元一次方程、二元一次方程（組）、分式方程、一元二次方程，從中感受到了方程思想在解決實際問題當中的重要性以及優越性.并且在利用方程思想解決實際問題時，可以將繁瑣的問題簡單化，特殊的問題一般化.

2.1方程思想在計算問題中的應用

方程思想是初中代數中最重要的數學思想，它貫穿于整個初中代數的始終.如在某些計算題中可以利用方程思想通過設未知數進行整體代換來簡化計算.

例1.閱讀下列材料，并用相關的思想方法解題.

計算：.

解：設，

則原式.

（1）計算：

解：設，

則原式

解方程：.

解：設，則原方程化為，即.

解得：.

當時，解得;

當時，，即.

，此方程無解.

綜上：原方程的解為：.

評注：第一問是利用整體代換思想構建含有未知數的代數式求解;第二問是利用整體代換思想將四次方程轉化為一元二次方程求解.

2.2方程思想在幾何問題中的應用

通過設未知數，列方程（組），將幾何問題轉化為代數問題，這是解決幾何問題的一種非常重要的方法.現舉例說明如下.

例2. 如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD.求∠A的度數.

解∵AB=AC，BD=BC=AD（已知）

∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD（等邊對等角）

設∠A=x°，則∠BDC=∠A+∠ABD=2x°

從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x°在△ABC中， 根據三角形內角和定理有x+2x+2x=180 解得x=36 ∴∠A=36°.

評注： 本道題的求解過程中，充分利用了等腰三角形性質定理以及三角形內角和定理，最后通過設未知數，列一元一次方程，求出角的度數.

2.3方程思想在函數問題中的應用

方程思想的獨特優勢是使問題簡單化，方便解題。同樣，方程思想在函數中也有著相當廣泛的應用。

例3.如圖2，建立平面直角坐標系xoy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長度為1千米.某炮位于坐標原點.已知炮彈發射后的軌跡在方

表示的曲線上，其中與發射方向有關.炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標.

（1）求炮的最大射程;

（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標

不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由.

解：（1）在中，

令，

得.

由實際意義和題設條件知.

所以，當且僅當k=1時取等號.

所以炮的最大射程是10千米.

（2）因為a>0時，所以炮彈可以擊中目標等價于存在，使成立， 即關于k的方程

有正根.

由得a≤6.

此時，（不考慮另一根）.

所以當不超過6千米時，炮彈可以擊中目標.

評注：第一問是利用函數構建方程，求出橫坐標;第二問是利用一元二次方程根的判別式求最大值.

3 結束語

通過對方程思想定義的理解，分析了其在初中數學中的三種應用，展現了方程思想在解決問題過程中的重要性.借助例題，具體的表達了怎樣將方程思想中蘊含的特征性質靈活的運用在問題之中.同時，也反映了在初中數學的學習中方程思想應用的普遍性.

參考文獻

[1] 陳婷，劉玉勝，李曼生.函數與方程思想在中學數學中的運用[J].數學教學研究，2011，30（12）：

62-64.

[2] 吳增生.方程思想[J].中學數學教學參考，2012，（3）：49-52.

[3] Sternberg R J，Davidson J E.The Nature of Insight[M].Cambridge，M A：The M IT Press，1995：328-364.

[4] 李長明，周煥山.初等數學研究[M].北京：高等教育出版社，1995：186.