淺析如何培養(yǎng)高中生數(shù)形結(jié)合思想的研究

仇彬

【摘 要】數(shù)形結(jié)合思想可將問題化抽象為具象，化復雜為簡單，成為解決高中數(shù)學問題的一種重要方法和手段。數(shù)形結(jié)合思想不僅能夠促進學生對數(shù)學知識的深入理解和研究，鍛煉增強學生的數(shù)學思維能力，還可以促進高中數(shù)學教學的穩(wěn)步向前推進。

【關鍵詞】高中數(shù)學;數(shù)形結(jié)合;高中生

數(shù)形結(jié)合思想始終貫穿于整個數(shù)學發(fā)展史。在面對實際問題時，往往將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，將事物之間的關系轉(zhuǎn)化為數(shù)之間的關系，這樣能夠有效降低解決實際問題的難度。高中數(shù)學教師應將數(shù)形結(jié)合與教學相結(jié)合，教授學生數(shù)形結(jié)合思想，在潛移默化中培養(yǎng)學生數(shù)學思維。

一、數(shù)形結(jié)合與函數(shù)問題的結(jié)合

函數(shù)作為高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，以研究函數(shù)單調(diào)性、最值、零點、定義域、值域等性質(zhì)為主。函數(shù)問題往往來源于生活，主要用來解決生活中的實際問題，因此其地位不言而喻，然而這部分內(nèi)容對于高中生來說最為抽象，學習難度最大。因此，教師在教學過程中，需要用數(shù)形結(jié)合的方法來指導學生應用解決問題。

函數(shù)最值問題在高中數(shù)學問題中出現(xiàn)頻率高，通常作為考試重點內(nèi)容，面對求最大值問題時通常有以下方法：配方法、局部換元法、三角代換法、均值不等式、三角函數(shù)有界法、單調(diào)性法、求導法等都屬于求最值問題的常用方法，應做到具體問題具體分析。有以下題目：求函數(shù)y=（4*sin（x）-1）/（3*cos（x）-6）的最值。面對這樣的問題，通常思路是判斷該函數(shù)的單調(diào)性，有兩種傳統(tǒng)方法：一種是根據(jù)定義，通過判斷（f（x1）-f（x2））/（x1-x2）的符號來判斷其單調(diào)性;另一種方法為直接求其導函數(shù)，通過導函數(shù)零點來求最值。經(jīng)嘗試發(fā)現(xiàn)，采用上述兩種方法，都會使計算量變大，最終可能導致計算錯誤。但此題還有更為簡單的方法：數(shù)形結(jié)合法。即將函數(shù)式變形為y=4*（sin（x）-1/4）/3*（cos（x）-2），會發(fā)現(xiàn)，可以將成作為兩點a（2，1/4），b（cos（x），sin（x））連線的斜率，b點在以原點為圓心的單位圓上，問題轉(zhuǎn)換為求過點a與單位圓切線的斜率問題，然后令y-1/4=k*（x-2），根據(jù)點到直線的距離公式求得k為3/4或-5/12，則最值為1，-5/9。在做題時，教師可做出其大致圖形，將示例圖與題目結(jié)合為學生進行講解，即數(shù)形結(jié)合，從而使學生能夠了解數(shù)形結(jié)合方法，在面臨類似問題時，能夠舉一反三。當訓練強度足夠大，教師應嘗試著讓學生不畫圖也能解決問題，即僅僅在頭腦中構(gòu)思出一幅題目所需圖像，真正做到熟練。除最值問題外，數(shù)形結(jié)合方法在不等式、方程中也有很好的應用，對于提高解題效率和準確率具有重要作用。

二、數(shù)形結(jié)合與解析幾何問題的結(jié)合

面對函數(shù)問題，往往將其與具體圖像相結(jié)合，而當面對解析幾何問題時，往往可以將其與“數(shù)”相結(jié)合，通常的方法有，坐標系法（平面直角坐標系，空間直角坐標系），向量法（平面向量，空間向量）。將抽象復雜的圖像轉(zhuǎn)化為簡單的數(shù)字或符號，使其變得更加一目了然，容易理解。對于部分高中生來說，其空間想象能力、立體思維能力的水平有限，對復雜的圖形理解困難。因此，教師需要采用數(shù)形結(jié)合的方式來幫助學生解決問題，加深學生對此類題目的理解，以便于快速掌握。例如：在求解關于立體幾何的問題時，若只是憑想象力在頭腦中構(gòu)造各種圖形，以發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，但這種方式僅僅對于部分能力較強的學生適用，大多數(shù)學生用起來是相當困難的。一般的方法是將其與空間向量相結(jié)合，將邊、角、面之間的關系用向量表示，或直接構(gòu)造空間直角坐標系，列出方程組、不等式組直接求解。甚至還可以將圖形、向量、坐標系三者結(jié)合起來，會發(fā)現(xiàn)問題變得是如此簡單清晰。以2017年課表3卷19（2）為例：以O為原點，OA為X軸正方向，OB為Y軸正方向，OD為Z軸正方向，設AC=a，建立直角坐標系，然后寫出各點坐標，再構(gòu)造空間向量，設出平面AED、AEC的法向量，根據(jù)邊、角、面之間的關系列出方程組便可求解得出二面角D-AE-C的余弦為sqrt（7）/7。

三、數(shù)形結(jié)合與概率問題的結(jié)合

概率作為高考必考題目之一，主要考察學生知識應用能力、語言理解能力，學生如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。其中“會面問題”經(jīng)常作為重點考察內(nèi)容。有以下題目：兩人事先談好在19：00到20：00期間會面，而且先到的必須等待遲到者30分鐘才可以離開，假設二者出發(fā)的時間是各自獨立的，在19：00到20：00時間會面的可能性是一樣的，那么求兩人在約定時間相見的概率。應對此題有一最佳方法：數(shù)形結(jié)合法。設兩人為A、B，A到達的時間為X，B到達的時間為Y，則可以列出不等式組：19<=X<=20，19<=Y<=20，|X-Y|<=40，然后畫出其相應的函數(shù)圖像，則可以發(fā)現(xiàn)此題本質(zhì)是幾何概率問題，只需求出圖像中圍成的圖形相應面積的比值，即可求出兩人在規(guī)定時間能夠相見的概率。觀察題目發(fā)現(xiàn)，此題的求解方法中又運用到了數(shù)形結(jié)合的方法。因此，數(shù)形結(jié)合法往往可以應用于某些概率問題求解，尤其是幾何概率問題。教師在講本節(jié)內(nèi)容時，需重點注意該方法，對于高中學生來說，既能掌握該題的解題技巧與方法，又可以加深對數(shù)形結(jié)合方法的理解，從而有助于實現(xiàn)高中生數(shù)學思維的培養(yǎng)。

四、結(jié)語

由此可見，數(shù)學結(jié)合思想貫穿了高中數(shù)學的始終，作為教學者，需要重點把握這一點，將其與數(shù)學教學相結(jié)合，讓學生在潛移默化中理解數(shù)形結(jié)合，以便進一步理解數(shù)學基本概念，輔助學生解決數(shù)學問題，從而激發(fā)起高中生對數(shù)學的興趣。數(shù)形結(jié)合不僅僅是一種方法，更是一種思想，對于學生解決實際問題，培養(yǎng)學生數(shù)學思維，提高綜合素質(zhì)具有重要作用。

參考文獻：

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[2]路檸寧.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學解題教學設計的案例分析[D].天津：天津師范大學，2017.