談數學建模之“相近類比建構”

摘 要：“數學模型”是指針對或參照某種事物的特征或數量相依關系，采用形式化的數學語言概括地或近似地表述出來的一種數學結構。在課堂教學中，數學模型的構建是提高教學效益的重要途徑之一，在教學過程中重視對學習材料進行必要的抽象，注重數學思想方法的有效提煉，可以突顯模型的本質。文章作者對數學建模中的“相近類比建構”進行了探析。

關鍵詞：數學模型;“相近程式類比”;“相近式圖類比”;“命題否定類比”

中圖分類號：G623.5 ? ? ??文章編號：2095-624X（2019）18-0014-03

一、引言

數學是一門十分靈動的科學，縱觀數學的發生與發展，人們可以發現，人類思維方式和方法的不斷進步推動著數學發展的進程，例如，直觀思維催化原始計數方法的發展;形象思維催化函數、幾何等的演化;抽象思維催化數學概念的產生;靈感思維催化類比、猜想、歸納等數學方法的發現。各種思維方式又幾乎都建立在“建構”基礎之上。“建模”是數學學科核心素養之一，是用數學語言表達實際問題、用數學知識與方法通過構建模型解決實際問題的過程。“建模”的主要途徑包括：從數學的視角在實際情境中發現問題、提出問題、分析問題、構建數學模型、解答問題、得出結論、驗證結論;或在上一次“建模不恰當”的基礎上，修改或再建模，再解答，得出結論，驗證結論，最終解決實際問題。數學模型是構建主義思想的具體應用，是數學與實際問題的橋梁，是應用數學知識（或方法）解決實際問題的基本手段，是在直覺思維的基礎上的再創造過程。

學習是構建與整合的過程，數學有“訓練思維之體操”之說。目前，高中數學思維訓練的主要方式是解題，而構建恰當的數學模型又是解決數學問題的重要方法之一，也是高考的必然考點。分析近年來的高考數學試題，每年都有考“建模”問題，其中“相近類比建構”又較為常見。所謂“相近類比建構”是將問題與之相近的數、式、圖等聯系起來，通過“近親”構建數學模型來解決實際問題。在這里，我談談數學模型構建中的“相近類比構建”途徑與方法。

二、基于“相近程式類比”建構

數學領域里的很多知識是相通的，互相關聯的，往往一個問題可以“借力”于另一與之“相近”的問題來解決。例如，利用“程式”之間的相近關聯構建數學模型解決數學問題。

例1.已知 a，b，c∈R+，且滿足條件：a+b+c= 2，a2+b2+c2=2，

求證：a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2

分析：如果我們用函數的思想去分析待證式子，不難發現，它與“函數f（x）=x（1-x）2”相近，要證明： a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2 成立，就只要證明f（a）=f（b）=f（c）即可。

證明：由題設可知2（ab+bc+ac）=（a+b+c）2-（a2+b2+c2）=2

由于（x-a）（y-b）（z-c）=x3-（a+b+c）x2+（ab+bc+ac）x-abc=x3-2x2+x-abc=x（1-x）2-abc，所以令f（x）=x（1-x）2= （x-a）（y-b）（z-c）+abc，不妨令x=a，b，c，可以得到f（a）=f（b）=f（c）=abc。故有a（1-a）2=b（1-b）2=c（1-c）2成立。

例2.若x，y，z∈R，且arctgx+argy+arctgz=—，

求證：（1）xy+yz-zx=1，（2）x+y+z

分析：arctgx，argy，arctgz相近與三個復數1+xi，1+yi，1+zi的輻角主值，則（1+xi）·（ 1+yi）· （1+zi）=（1-xy-yz-zx）+（x+y+z-xyz）i ，考慮到 arctgx+argy+ arctgz=—，顯然有1-xy-yz-zx=0和x+y+z-xyz<0，即有xy+yz-zx=1，和x+y+z

三、基于“相近式圖類比”建構

某些代數式子的結構與“圖形”相近，我們可以將問題中的條件與結論的結構關系賦予幾何意義，然后構建新的數學模型，再應用我們比較熟悉的幾何知識去解決待求問題。

例3.求證sin220°+sin210°+√3sin20°cos80°=—

分析：待證式子的左邊可變為sin220°+sin210°+ √3sin20°sin10°，在解此題時我們回避常規的三角變形法，我們從數形結合的角度出發去構建模型。不妨構建 △ABC，令A=10°，B=20°，C=150°，由正弦定理可以得到：—=—=—=2R

又由余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC

所以 （2Rsin150°）2=（2Rsin10°）2=（2Rsin20°）2-2× 4R2sin10°sin20°cos150°

即有sin220°+sin210°+√3sin20°sin10°=—成立。

例4.若a，b，c∈R+，求證√a2-ab+b2+

√b2-bc+c2≥√a2+ac+c2恒成立，當且僅當—=—+—時，等號成立。

分析：觀察待證式子中的三個根式，容易發現：

√a2-ab+b2=√a2+b2-2abcos60°可以表示為以a，b為邊，夾角為60°的三角形的第三邊長;

√b2-bc+c2=√b2+c2-2bccos60°可以表示為以b，c為邊，夾角為60°的三角形的第三邊長;

√a2+ac+c2=√a2+c2-2accos120°可以表示為以a，c為邊，夾角為120°的三角形的第三邊長;根據上述分析我們構建在三角形ABC中，令AB=c， AC=a，AD=b，∠CAD=∠BAD=60°，如 圖 1。

由余弦定理可知CD=√a2-ab+b2=√a2+b2-2abcos60°

AB=√b2-bc+c2=√b2+c2-2bccos60°，

CB=√a2+ac+c2=√a2+c2-2accos120°，

在△CDB中，CD+DB>CB是恒成立的。

所以√a2-ab+b2+√b2-bc+c2≥√a2+ac+c2成立。

當B、C、D三點共線時，一定有√a2-ab+b2+

√b2-bc+c2=√a2+ac+c2成立，且S△ACD+S△ADB=S△ACB，即—absin60°+—bcsin60°=—acsin120°，即ab+bc=ac所以有

—=—+—成立。

例2、例3分別把一個純三角函數問題、不等式問題轉化成了對三角形的邊和角的分析。這兩道題的解法都是通過構建幾何模型來解決代數問題，從一個全新的角度去審視原題，突破了問題原來的界限，展現出了獨特新穎的解題方法與技巧。這種解題方法的實質是通過分析問題的結構，聯想與之相似的有著明顯幾何意義的式子，從而構建數學模型達到解決問題的目的。中學數學中，有著明顯幾何意義的式子較多，例如：

（1）|x-a|表示數軸上任意點x與a的距離。

（2）（x-a）2+（x-b）2表示平面上任意點P（x，y）與 A（a，b）的距離的平方。

（3）—表示平面上任意點P（x，y）與 A（a，b）連線的斜率。

（4）—表示平面上任意點P（x，y）到直線ax+by+c=0的距離。

（5）常見的圓、橢圓、雙曲線、拋物線等二次曲線方程。

四 、基于“相近意境類比”建構

某些問題的結構與特定的數學或實際意境相關，可以將問題重構新的問題意境。常見的方法包括實例數學化、面體展開、面體割補、面體對稱與旋轉等。

例5.在三棱錐S-ABC中，SA=SB=SC=1，∠ASB=∠ASC=∠BSC=30°，一只螞蟻從點A出發沿三棱錐的表面爬行一周后又回到A點，則螞蟻爬過的最短路程為多少？如圖2左圖所示。

分析：從“立體圖形聯想”相近“平面圖形”，將錐側面展開，很容易發現展開圖形為直角三角形，如圖2右圖所示。且最短路程為√2。

例6.如圖3左圖所示。四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SD= 1，求面ASD與面BSC所成二面角的大小。

分析：考慮到 SD⊥底面ABCD，且ABCD為正方形，可以把四棱錐補形為長方體 ，如圖3右圖所示。 面ASD與面BSC所成的二面角就是面與面所成的二面角，又因為∠AA1B 為所求二面角的平面角，即面ASD與面BSC所成的二面角為45°。

例7.一個球的半徑為a，放在墻角與兩個墻角及地面都相切，那么球心與墻角頂點的距離是多少？

分析：我們從數學的視角審視容易發現此球心到三面的距離構成邊長為a的正方體，則球心與墻角頂點的距離為√3a。

在構建數學模型時，要克服思維定式的干擾，當用常法解決問題比較困難時，要及時調整思考角度，敢于構想新的問題意境，尋求新的解題契機，其中尋求“相近意境”是重要的方法之一。

五、基于“命題否定類比”建構

從問題的反面出發，構想與問題完全相反的模型，然后通過推理，達到否定假設肯定結論的效果。其過程是：先假設“結論”不成立，然后把“結論”的反面當作已知條件，進而運用數學知識進行正確的邏輯推理，得出與題設或已知的公理、定義、定理相矛盾的結論，從而說明假設不成立，即原“結論”成立。這種方法的實質是：先駁倒“結論”反面，而后肯定“結論”。

例8.已知：四邊形ABCD中，對角線AC=BD=m。

求證：四邊形中至少有一條邊不小于—m。

證明：假設四邊形的邊都小于—m，（如圖4 ）

由于四邊形中至少有一個角小于或等于90°，不妨設∠A≤∠90°，

由余弦定理，得BD2=AD2+AB2-2AD·AB·cosA，

∴BD2≤AD2+AB2，

即BD≤√AD2+AB2<√（—m）2+（—m）2=m。

這與已知BD=m相矛盾。所以，“四邊形中至少有一條邊不小于—m”成立。

六、基于“逆否命題”建構

考慮到“互為逆否命題等價”，可以將問題的研究轉化為對逆否命題的研究。

例9.求證：若a，b∈R，a2-b2+2a-4b-3≠0，則a-b≠1

分析：要證明“若a，b∈R，a2-b2+2a-4b-3≠0，則a-b≠1”成立，我們可以證明其逆否命題成立即可。即證“若a，b∈R ，a-b=1，則a2-b2+2a-4b-3=0”成立。

證明：因為a-b=1，所以a=b+1，所以a2-b2+2a-4b-3=（a2+2a+1）-（b2+4b+4）=（a+1）2-（b+2）2=（b+2）2-（b+2）2=0。

七、基于“相近客觀實例 ”建構

例10.“如果一個二面角的兩個半平面分別和另外一個二面角的兩個半平面垂直，則這兩個二面角相等或互補”是否成立？

解答：將第一本書打開，得到一個二面角模型，將第二本書打開得到另一個二面角模型。將第二本書脊與第一本書打開的兩面垂直，此時第二本書開合成任意角時都是符合題意的。所以“一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，這兩個二面角不一定相等或互補”。

八、結語

“相似類比構建”是數學模型構建的重要方法或途徑，是從“相似”的視角構建數學模型解決數學問題。模型構建是數學發展的價值所在，是推動數學發展的動力所在，也是“數學人”的基本素養之一，值得我們去仔細研究和運用。

參考文獻：

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作者簡介：楊德才，數學高級教師，廣東省中山市實驗中學教師。