核心素養下對高中學生數學建模能力的培養

黃書耀

【摘 要】 數學建模是高中數學核心素養的重要組成部分，亦為數學能夠與其生活本質發生直接關聯的媒介途徑之一。即其作為對現實問題進行抽象、用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型以解決問題的過程機制，是真正提升學生數學及其運用能力的根源性學科素養。所以，對其的深入認知與滲透其的教學實踐便成為教師亟待重視的一大問題。

【關鍵詞】 核心素養 ?高中數學 ?建模能力

數學在具有抽象性、邏輯性與系統性的顯著特征標識之外，其還具有應用的廣泛性。此尤體現在現代知識經濟與網絡世界對國家與個人數學研究與運用能力的需求之上。且學生數學能力不負十幾年學科教育的真正提高在于“學以致用”，在于能夠以數學的眼光與角度看待世界，并在此基礎上發現、創造新的理論或工具以進一步促進現代社會的便捷、高度發展。而此的前提與核心便是“數學建模”，即通過對數學模型的調取與轉換解決實際問題。根據認知接受規律，便可將此素養的培育要點概括為：問題具體化以切實傳授模型知識、數學生活化以培育學生建模意識、跨學科練習以提升學生建模能力三者。

1. 問題具體化切實傳授建模知識

學生有意識運用建模知識以解決實際問題的前提為：對“何為數學模型”問題的明確，以及對其“如何運用”問題的解答。所以，教師在教學過程中，應將傳統沒有生活實際情境依托的單純數學問題改為具體的場景案例，并進行引導建模以切實傳授建模知識，以讓學生更為清醒、深刻地認知數學建模過程與建模意義。

例如：在《指數函數》一節的講解中，在講解了其基本知識之后，我先會告訴同學們此亦可被稱作可供解決實際問題的指數函數模型。并以此道具體場景性例題作為說明：

一種儲蓄按復利（把前一期的利息和本金加在一起作本金，再計算下一期利息的一種計息方法）計算利息，若本金為a元，每期利率為r，設存期為x，本利和（本金加利息）為y元。

（1）本利和y隨存期x變化的函數關系式是什么？

（2）如若本金為2000元，每期利率為2.25%，5期后的本利和為多少？

第一小問的重點便在建立函數模型，針對此，我先引導同學們分別將第一期、第二期、第三期的本利和根據題目已知條件進行求取：第一期：y=a+a×r=a（1+r）;第二期：y=a（1+r）+a（1+r）r=a（1+r）2;第三期：y=a（1+r）2+a（1+r）2r=a（1+r）3。此后，我們便可在此基礎上建立關于本利y和x與存期的函數：y=a（1+r）x。接下來，同學們便明晰了此為指數函數，同時我又向同學們明確，此函數被運用在這里解決實際儲蓄復利的問題過程便為此指數函數模型發揮作用的過程。之后，我將此第一問標為“建立模型”，第二問標為“求解模型”，并進行帶入求值。在此二問全部解決之后，我又在其后補充了“模型討論”一條，以讓同學們畫出此函數圖像，以直觀分析本利和隨存期變化的趨勢，并與我通過幻燈片給出的單利函數圖進行對比，以更深入地了解復利形式本身裨益與指數函數模型在儲蓄問題的解決中發揮的重要作用。

2. 數學生活化培育學生建模意識

除卻教師引導以讓明晰掌握的建模基礎知識，如模型建立、求解模型、模型討論等外，還應讓學生具有自主建模、以獨立解決實際問題的能力。實現此的前提為：其能夠意識到現實生活中蘊含著大量的數學信息，且數學具有解決生活問題的能力。所以，教師在日常教學中，應將知識與其廣泛的生活表現或用途相聯系，此目的在于增強學生的學科生活化感知，所以，對于“某知識與某生活領域相聯系的具體緣由”的問題則可不做詳細說明。

例如：在《三角函數模型的簡單運用》一節的教學中，我則在回顧所學過的三角函數知識基礎上，向同學們介紹了大量可運用三角模型進行問題解決的生活領域，并做了簡單的詮釋。如在火箭飛升問題上，通過地面雷達站的仰角與距火箭所在位置之間的距離，利用函數模型計算火箭的升空高度;在電纜鋪設問題上，通過各項三角函數的綜合靈活運用計算河兩岸兩個城市之間鋪設電纜的最經濟方式;在救生員營救問題上，利用各項三角函數模型計算救生員距離目標之間的距離與在已知救生員跑步、游泳速度的前提下通過不同路線方案所用的時間長短。除此之外，食品包裝、住宅等生活、生產實際問題等亦為可利用三角函數解決的問題案例。對此的呈現與大致描述將有效讓同學們意識到三角函數模型的多樣化生活作用與用途，并逐漸培育其建模意識。

3. 跨學科練習提升學生建模能力

數學是研究現實世界數量關系與空間形式的科學，在此本質上而言，數學并非一獨立的學科，而可與任何學科之間建立聯系，成為各學科輔助。所以，利用數學模型進行的跨學科的問題解決成為可能。且此對打破學科界限的創新教學和訓練形式將大大促進學生對學科相通性的理解與數學應用廣泛性的認知，同時提升學生自主建模與自主解決問題的能力。

例如：在《直線、平面垂直的判定及其性質》一節的教學之后，為鍛煉同學們的幾何建模能力，我結合生物學知識給同學們出了這樣一道關于“血管分支”的題：動物為了維持血液在血管中流動，要向血管提供能量，以供給血管壁營養與克服血液流動阻力，而其所消耗的能量與血管的幾何形狀有關。且有假說：生物在進化過程中，血管的幾何形狀向消耗能量最小的方面轉變。通過圖形所給的血管分支角度、血管長度等條件研究血管分支處粗細血管半徑的比例和分叉角度在消耗能量最小的原則下該取什么值。在這里，我給同學們提出了物理學上將血液在血管中的流動視為粘性流體在剛性管道中的運動假設，以及按照一條血管在分支處分為兩條細血管，分叉點附近三條血管共面，且有一條對稱軸的數學幾何假設。讓同學們依此線索運用所學知識進行具體求取方法的分析。此類型的題目不僅與生物學科知識相關聯，能夠讓同學們在生物與數學知識的綜合調動與運用下深化幾何建模意識與能力，而且就練習題本身而言亦是一種創新。

數學模型是連接數學學科與生活實際的媒介，而生活是數學學科的本質旨歸，所以，學生數學建模能力的培育和提升應為高中數學教育的重點與核心，而其所需的對生活諸方面領域的廣涉與對其它學科的了解亦對教師的知識與教學能力提出了一定的挑戰。

參考文獻

[1] 葉亞.高中生數學建模能力培養研究[D].湖南科技大學，2017.

[2] 譚玉華.真實情境驅動的高中數學建模教學[D].華東師范大學，2004.