初中數學“數形結合”思想的教學研究

焦讓前

摘 要：數形結合思想，即借助數的精確性闡明圖形的某種屬性。利用圖形的直觀性闡明數與數之間的關系，這是溝通數形之間的聯系、并通過這種聯系產生感知或認知、形成數學概念或尋找解決數學問題途徑的思維方式。

關鍵詞：數形結合;幾何意義;應用;觀察力

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A???? 文章編號：1992-7711（2019）15-068-2

新的課程改革中的數學，其基本出發點是促進學生全面、和諧、持續的發展，它要求學生通過學習數學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數學思想和方法，讓學生學會用數學的眼光看待生活中的人和事物，學會用數學的方法解決生活中的實際問題。運用數形結合思想，不僅直觀易發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。

一、激發學生用數形結合的思想去解題的興趣

教師要善于激發學生的“數形結合”興趣，培養學生的“數形結合”意識。“數軸”的學習對于處于“數形結合”萌芽時期的初中生而言是決定性的。一方面，它可以與有理數、無理數的學習聯系起來，讓初中生開始感受什么是數形結合;另一方面，它通過方程、不等式的應用讓學生真正體驗到數形結合的優勢，而恰恰是這種體驗令學生見證了數與形的和諧統一，并在潛移默化中最終形成運用數形結合的思想意識。

二、重視數學概念的幾何意義的教學

數學中的很多概念都有一定的幾何意義，要培養學生數形結合的思想，就要善于挖掘數學概念的幾何意義。剛進入初中的學生在學習絕對值的概念時，教材對絕對值的幾何意義作了如下描述：“一個數的絕對值是指在數軸上表示這個數的點到原點的距離”。因此教師此時要有意識地重視講清：“|x|在數軸上表示數x所對應的點到原點的距離”。

例1：在數軸上表示a、b兩個實數的點的位置如圖所示，化簡|a-b|-|a+b|。

解決這個問題應從數軸上討論a，b的絕對值的大小，根據有理數加法、減法法則，從而確定a+b，a-b的符號。

通過認真講述數學概念的幾何意義，溝通數與形的本質聯系，不僅可以深化對數學概念的理解，而且還為提高學生解決問題的能力開辟了新途徑。所以從低年級起就要重視數學概念的幾何意義的教學，知難而進，培養興趣，持之以恒，將會有極大的收益。

三、重視數學的的基本圖象在函數、三角上的應用

在初中階段，數形結合是一種重要的數學思想，它要求學生把抽象的數或式與直觀的“形”（幾何圖形）結合起來，達到使問題容易理解，思路易于把握的效果，華羅庚所說的“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”，正說明了數形結合思想的重要性。

例2：ax2+bx+c=0（a≠0）是一元二次方程。它的解可以理解為函數y=ax2+bx+c的圖象與常值函數y=0，即x軸的交點的橫坐標。那么當公共點有兩個時，對應的一元二次方程有兩個不相等的實數解;當公共點只有一個時，對應的一元二次方程有兩個相等的實數解;當沒有公共點時，對應的一元二次方程沒有實數解。

解析：①x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6與x軸的公共點A（-2，0），B（3，0）。

②x2-2x+1=0，x1=x2=1，y=x2-2x+1與x軸的公共點A（1，0）。

③x2+1=0，沒有實數解，y=x2+1與x軸沒有公共點。

例3：如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經C地沿折線A—C—B行駛，現開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛。已知AC=10km，∠A=30°，∠B=45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果精確到01km）（參考數據：2≈141，3≈173）

解析：過點C作CD⊥AB，垂足為D。構造兩個有著公共邊的直角三角形。使得問題轉化到解直角三角形中的問題，

在Rt△CAD中，可求CD=5，AD=53。

在Rt△CBD中，可求BC=52。

∴AB=5+53。

∴AC+BC-AB=5+52-53≈34。

所以，隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走約34千米。

因此作為老師就要教他們梳理所學數學的知識和數學的思想、方法。特別要將教材中隱藏的思想方法挖掘出來，并且要把分析問題和解決問題的方式、方法教給學生，同時要讓他們得到一定的訓練，達到久久難以忘懷的程度，從而使學生感受到其中的樂趣。

四、要善于利用數形結合培養學生的觀察力

數形要結合，關鍵在于能根據函數式（或方程）畫出圖形和根據代數式分析其表示的幾何意義。數學上的有很多公式、定理都具有一定的幾何意義，教學中引導學生深刻分析這些公式、定理與幾何圖形的內在的本質地聯系，從而尋求解決問題的有效方法。

例4：在某一個圓上，我們考察同一個弧所對的圓心角和圓周角的關系。

教師可以在黑板上畫圖，引導學生進行觀察：

1.當圓周角的一邊與圓心角的一邊共線（或圓心在圓周角的一邊上）時，我們可以很快發現“圓周角是圓心角的一半”（見圖1-1）;

2.當圓心在圓周角內時，我們只要做一條輔助線（連接圓形和圓周角的頂點的直徑），再利用前面的結果又可發現“圓周角是圓心角的一半”（見圖1-2）;

3.當圓心在圓周角外時，做同樣的輔助線可以利用前面的結果得到“圓周角是圓心角的一半”（見圖1-3）。

我們從以上三個個別情形可以推得一般結論：“在任何情形下，同弧所對的圓周角是圓心角的一半”。

可見，挖掘代數式的幾何意義，數形結合起到了鬼斧神工的妙用。因此，教師在使用數形結合方法的時候，必須結合教學內容和學生的實際，采取適當方法和措施，有意識地去體現和解釋數學知識中抽象概念和形象事物之間的聯系，提高學生的數學思維。對講過的知識點必須及時總結和復習，強化這些知識，讓它們在學生腦海中留下深刻的印象，促使學生對概念的認識從感性上升到理性。

總之，數形結合是具體與抽象、感知與思維的結合，是使形象思維與抽象思維相互轉化的有力“杠桿”。教師應在數學教學中盡量發掘“數”與“形”的本質聯系，借助數形結合的“慧眼”，探索分析問題和解決問題的方法，變學生學會為會學，提高學生的數學素養，在數學教學中真正實現素質教育。