搭建化歸平臺　借他山石攻玉

蘇華春

摘 要：“化歸思想并非源于數學，它的根源在于人類的思維定式——以現有的方法去處理面臨的新問題。”借助這種思維原則來學習與教學常可事半功倍。文章借鑒化歸思想為高中數學教學提供一種思路——搭建化歸平臺，以促進學生理解掌握數學知識，發展數學素養，融合提升數學理論應用能力。

關鍵詞：化歸平臺;高中數學;化歸思想

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 收稿日期：2019-03-27 文章編號：1674-120X（2019）21-0080-02

化歸思想是重要的數學思想之一，多數教師只將化歸思想方法視為解題思想方法，事實上化歸思想曾被笛卡爾譽為“萬能方法”：“一切問題都可數學化，化歸為數學問題;一切數學問題都可化歸為代數問題;一切代數問題又都可化歸為方程問題，有了方程理論就可解決一切問題。” 雖然這一方法并不是萬能的，但是這種思維原則體現了“化歸思想并非源于數學，它的根源在于人類的思維定式——以現有的方法去處理面臨的新問題”。在教學中，把“化歸”作為一種教學思想方法，就是把那些有待教學、學生學習比較難的問題（內容），通過某種轉化手段（搭建的平臺），化歸到學生已經解決或比較容易解決或已有解決程序的問題（內容），即“規范問題”，通過對規范問題的教學，使學生解決（學習）新問題。本文借鑒化歸思想為高中數學教學提供一種思路——搭建化歸平臺促進學生理解掌握數學知識、發展數學素養、融合提升數學理論應用能力。

一、在知識發生過程中搭建知識同化、順應的化歸平臺，促新知的內化吸收

中學數學知識內在邏輯關系緊密，新知的學習多在舊知基礎上擴充定義，擴展延伸知識與方法，提煉產生新知識、新方法，是從已知到未知的表層知識規范化的過程。教師可立足于學生已有的學習基礎，著眼尋找新知識與已經學習過的相關知識間的內在聯系，通過化歸的方式，把將要教學的知識用已學習過的知識來建構，讓學生調整頭腦中已有的知識結構去適應新的學習內容，使其對新知識的學習轉變成對原有知識的發展。

如教學“空間等角定理”及其本質——空間平移的不變性（角的大小），可建立異面直線所成角與平面相交直線所成角的聯系。反函數是指數函數和對數函數兩個知識之間的內在聯系。教學中強化從“數”的對應（映射）關系和“形”的對稱關系理解反函數，學生就會參考已學過的指數函數的定義以及相關性質來理解內化對數函數的定義與性質。“數列的通項本質是一個特殊的函數”是理解數列的節點，教學在“數列是一個特殊的函數”上下功夫：①在數列中由項的序號可得對應項，即對每一個序號，都有唯一的項與之對應，這種對應本質是什么？以針對性的問題來揭示數列與函數的關系。②數列到底是怎樣的函數？誰是自變量？誰是函數？（序號n是自變量，項an是函數）an是關于n的函數，這個函數的定義域是什么？數an是關于n的這個函數的什么？理清通項函數的內涵。③函數從哪幾個角度研究？數列呢？讓學生用函數的知識方法去建構數列的知識方法。教學中通過抓住新舊知識的內在聯系的橋梁，架設知識同化、順應的化歸平臺，充分發揮學生的主體地位，讓學生參與到類比、歸納、化歸的過程中去，促進知識習得與內化。

二、在知識應用教學過程中搭建數學模型化歸平臺，促提升數學理論應用能力

要將所習得的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗轉化為“生產力”，鞏固所學、提升能力，需要在教學中提供例題模型平臺，幫助學生構建一定的知識應用模式。經過適度的強化訓練，讓學生研究模型問題的條件與所求，進行翻譯、轉化、類比，調用頭腦中已有的相關聯的認知結構來演繹、來推理，激活儲備信息把問題轉化為基本概念、定理、公式或圖形問題，按照條件代入公式或定理而得出結論，讓學生在大腦里形成一定的解題系統。不斷教會學生學會如何想題，如何追根求源，進而讓學生深刻理解概念，掌握研究方法。

例如初學等差數列的定義，由于數學符號的抽象性，學生無法馬上從本質上理解什么是等差數列。給出例題：已知數列{an}滿足下列條件，求通項。

（1）a2n+1=a2n+4，且a1=1，an>0.

（2）

（3）

（4）

（5）lgan+1=lgan+2，且a1=2.

（6）

給學生充分的時間整體來觀察題目條件的共同結構特征，讓學生內化“在你的心目中什么是等差數列”“上述題目中有沒有能構成等差數列的結構”，等待學生對照等差數列定義“an+1-an=d”，將上述數列整體轉化為等差數列定義形式，最后自主發現上述題目中{a2n}、{}、{}、{}、{lgan}、{}等都是等差數列，并得出相應的首項與公差，然后再求得數列的通項。

再如函數的單調性、奇偶性應用教學，設計例題與變式訓練如下：

例題1：已知函數f（x）是定義在[-1，1]上的減函數，且是奇函數，若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求實數a的取值范圍。

變式訓練1.已知函數f（x）=，x∈[-1，1].若

f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，求實數a的取值范圍。

例題2：2016年福建省質檢數學科填空題：已知點A（3，1）， B（，2），且平行四邊形ABCD的四個頂點都在函數

f（x）=log2的圖像上，則四邊形ABCD的面積為 ? ? ? ?。

從直接應用知識的例題（源問題）到需要挖掘題設條件所反映的知識本質的變式訓練題，讓學生經歷識別、聯想和構建與“源問題”相關的思維橋梁，數學模型群組搭建了知識的應用化歸平臺。“系統地給學生發現事物的機會”，充足典型的平臺催化學生模式思想的產生，讓學生經歷從不同角度、不同層次應用知識、形成應用知識模式到熟練掌握知識系統的過程，拓展思維，提高知識的綜合應用能力。

三、在解題教學中搭建運用化歸思想解題的展示平臺，促數學核心素養的形成發展

數學解題的本質是轉化條件與結論之間的差異，化異為同，化繁為簡，需要探索化歸轉化的策略及化歸目標選擇的合理性和必然性，教學中精選例題，搭建運用化歸思想解題的展示平臺，讓學生直觀感知化歸思想在解題中的指導作用，同時升華解題思想，提升解題能力。

例：對任意x∈[-1，1]不等式x2-ax-2≤0恒成立，求實數a的取值范圍。在教學中先讓學生回顧不等式與函數圖像的關系，然后引導學生想到解此題可把代數式x2-ax-2看作函數，記（x）=x2-ax-2，指出這是化歸思想指導函數思想在起作用。這樣使（x）≤0對x∈[-1，1]恒成立就可轉化為二次函數（x）在區間x∈[-1，1]上（x）≤

0或數形結合只需函數（x）圖像在兩端點處值小于等于0。求函數（x）在區間x∈[-1，1]上的最值或用函數的圖像來研究屬于函數知識與方法的應用，屬于技能范疇，不是函數思想的體現。解決本題的關鍵在轉化思想與函數思想的應用，讓學生體驗建立用化歸思想指導解題的必要性，體驗應用函數思想解題就是用函數和變量去思考，引領學生開拓思維，培養創新思維。

在高中數學解題教學過程中，教師通過設置合理化解題建議，不斷將問題與條件的一種語言“翻譯”成另一種語言（數學語言一般有文字語言、符號語言和圖形語言），一種表現形式轉化為另一種表現形式，展示轉化思維過程與涉及的思想方法，讓學生自主揭示命題的本質特征，從而找到解題途徑;并在解題基礎上總結和歸納解題的方法，升華到思想的高度;在后繼的習題鞏固環節中強化化歸思想對發現解題途徑的定向、聯想和轉化功能，有效提高學生的邏輯思維能力，讓學生會想到、能做到，發展學生的核心素養。

四、在復習小結的提煉和概括中搭建知識網絡化歸平臺，促內容系統結構化

在復習小結中運用化歸方法，整合新舊知識，建構知識網絡， 促新舊知識有機聯系;整合解題思路，建構思維導圖，促進尋找解題策略思維過程，拓寬解題思路，迅速找到解題的突破口。如研究簡單多面體外接球問題時，探求解決此類問題本質：確定球心位置，在小結時可歸納、歸類、構建思維導圖整合確定球心的方法如下：

內切球的球心確定等也可采用類似方法，利用思維導圖的表征工具，展示確定球心的解題方向，展示化未知為已知、化復雜為簡單、化陌生為熟悉、化困難為容易來尋找解題策略思維過程，揭示知識之間內在聯系的功能，幫助學生在思維層次上總結歸納各種基本特征、規律，提煉和概括出其中的數學思想，有助于學生更好地理解其本質特征。

總之，在不同的教學階段、教學環節都可“搭建化歸平臺，引發學生數學思考，為學生思維發展而教”，讓學生在自主探索、合作探究、實踐操作的基礎上領悟并駕馭數學思想，提高數學素養。在教學過程中教師應充分發揚新課程標準的精神，促進學生形成良好的數學思維習慣和應用數學的意識。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

[2]波利亞.數學的發現（第二卷）[M].劉遠圖，等譯.北京：科學出版社，1987.