關注數學隱形知識促進理解

朱曉勇

摘 要：線和角是圖形與幾何的基礎知識，它們是構成平面多邊形的主要元素。四年級的線段教學，線段不僅僅是教學的起點，引入端點的知識從而確認線段的長度有限性，從沒有端點的討論去開啟射線和直線的認知大門。文章就“線段”的內涵和外延、“隱形”線段的引入以及課堂形態的構建進行了相關探討，以期為提高數學課堂教學效果提供一些參考和借鑒。

關鍵詞：小學數學;教學藝術;隱性知識

近日，筆者參加市級優質課評比，課題是《線段、射線、直線和角的認識》，在評比結束后的五天內，筆者接到各種信息，但自己的思維卻處于混沌狀態。賽后經過一段時間的沉淀和反思，筆者略有所得，故記之一二，以期爭鳴。

一、此“線段”還是彼“線段”嗎？

（一）線段再認識

四年級學生認識的線段還是在二年級時所認識的線段嗎？從認識對象上看答案是肯定的，從數學概念的本質屬性看依然如此。但是，從小學生認知線段的形態看，即從概念的外延上看，還是嗎？也許不是也許是。如此看來，四年級的線段認識該有新發展。

二年級上冊的數學課本對線段的定義：“拉緊的一段線，可以看作一條線段。”顯然，那時的認知，線段是直直的線，而對端點的認識是非常淺顯的。

在開始認識到物體的邊是線段時，小學生對線段的長短感覺既是現實的，也是直觀的、具體的，再后來，隨著對“測量”和“長度單位”的進一步學習，從微米、厘米、分米到米、千米的學習，尤其是認識千米后，小學生對線段長短的認識已經無法停留于一種直觀的現實感受，也許這時學生們的頭腦中已經閃過這樣的念頭：最長的線段有多長？它有終點嗎？

（二）線段的端點認識

于是便有了討論線段端點的需要。四年級上冊的數學課本對線段的定義為：“一根拉緊的線，繃緊的弦，都可以看成線段。線段有兩個端點。”筆者驚嘆于教材如此及時地點明了四年級線段教學的第一個教學要點——端點。

一條直直的線，有了兩個端點，線段終于在學生的頭腦中呈現了一個完整的身姿。毫無疑問，認識線段的端點，不僅僅在于需要給予線段一個完整的身姿，而在于這里的端點是從線段認識通往射線和直線認識的鑰匙。而從線段到射線和直線認知突破的關鍵就在于從有限到無限的一種極限數學思想，在這里，端點就是這個思想的有效載體。

（三）完善線段知識

至此，筆者做個小結：

關于四年級的線段教學，教師要認識到，線段不僅僅是教學的起點，它本身就是一個再認識的主體，其中端點認識是核心。端點的認識要從學生對已知線段的長短序列建構開始，重現學生對線段長短極限的疑問，這樣就真正產生了后續認知的起點。

端點的引入雖然起始于線段長短極限的疑問，需要在具體的、直觀的物體的邊的起點和終點設定開始，并逐步引導學生想象線段的起點和終點的情形，從而確認線段的長度有限性。最后，從沒有端點的討論去開啟射線和直線的認知大門。

二、隱形的線段，需要認識嗎？

四年級的學生能想到三角形中的高也是線段嗎？四年級的線段教學，教師需要引導學生尋找看不見的線段。生活中諸如黑板邊、桌子邊、書邊都可以看成線段。還有哪些東西的邊可以被看成線段呢？線段是直的，可以量出長度。這樣的認知儲備肯定不足以給學生后續學習提供完全的認知需求。

比如：在長方形ABCD中，長邊AB是長，短邊BC叫寬。這樣，就需要學習：為了表述方便，可以用字母來表示線段，如線段AB。

比如：在認識三角形的的時候，要認識三角形的高。而在通常情況下，三角形的高確實存在，卻又是隱形的，這時候的認知，需要想到一種合理存在卻又看不到的線段。又如長方形、正方形等圖形的對角線，平行四邊形和梯形中的無數條高等，這些隱形線段的知識，是否需要納入本節課的學習中來呢？

細細想來，如果要認識到平行四邊形中有無數條高，首先要認識到線段是由無數個點組成。也許這樣的認知對于小學生來說過于復雜，但后續的學習卻需要這樣的認知準備，對于隱形線段需要種下一棵認知的種子。

再如：在計算多邊形面積的時候，各種不同位置的等長線段之間數值關系的轉換就是線段之間的平移和旋轉。那么，是否可以將線段的認知和已學的“圖形的運動”結合起來呢？

這樣看來，四年級線段的學習不再是一個簡單的重復過程。該內容的學習，已經不能停留于原先的學習。基于這樣的認識，筆者認為：對于學生來說，最有意義的學習不僅是將已知的生活經驗和認知活動完善成一個知識體系，而且更需要提升、發展到后續學習所需求的水平上來。從某種角度講，教學目標的確定，更多來源于后續學習的需求。

三、三角形中的角還是角嗎？

1. 學生的困惑

筆者在完成《角的認識》的教學后，有幾位愛思考的學生圍著筆者問：三角形的角是角嗎？教師此時可以清楚地知道學生的思考邏輯：由一點引出兩條射線所組成的圖形叫作角，而三角形的角是由一點引出了兩條線段，所以三角形的角不是這里所說的角。

教學需要傳道解惑，而教學卻經常讓學生不斷地產生困惑。對于線段是射線或直線的一部分的教學，教師很少提及，這樣自然讓學生在學習后續的中角、平行線、垂線在圖形解讀時產生各種困擾。

2. 困惑的消除

在教學中，如果教師預設線段和射線、直線關系的認知點并實施于教學活動中，主動地將三角形的角和這里的角進行辨析，相信學生對從屬關系概念的性質特點會有一個比較成熟的認識。

事實上，教學預設不僅僅關注學生的疑惑，還有許多經驗值得關注。比如本節課的過一點畫線、過兩點畫線、學生的畫圖規范等需要教師加以指導，直線的性質需要教師加以解讀。更要注意的是，在后續的學習——三點畫線、四點畫線、N點畫線構成了一個數形結合的訓練學生思維的系列題組。筆者認為，一個系列題組有必要做實這樣過點畫線的教學點。

四、就這樣靜悄悄地教學嗎？

小學第一學段的數學課堂熱熱鬧鬧，第二學段卻相對靜悄悄地進行教學，筆者對此深有體會。

小學第一學段的幾何學習從認識立體圖形開始，然后逐漸認識平面圖形，再認識角以及平面圖形的邊的長短測量解構平面圖形，最后學習計算長方形和正方形的周長和面積。這是一個從整體到局部的結構式認知過程。在這一階段，學生沒有幾何知識基礎，但有生活經驗，教學就是將學生的認知形成共識，成了一種幾何基礎知識。從認識長方體、正方體到長方形、正方形，再到線段等，由此可見，第一學段的數學學習是直觀的，看到什么說什么。這也是教師所熟悉的直觀的、感性的教學方式。

而第二學段，學生則在學習線段、直線、射線和角的基礎上，逐步研究各種幾何體的形狀、相對位置、與大小等。這是從基礎到整體的一個建構過程。顯然，第二學段，更多的是一種發現知識和運用方法的學習過程，在這個過程中，動手操作、發現運用是一種主要學習方式。在發現運用中，必然更多地需要數學概括和邏輯演繹的成分。

比如：在線段、直線、射線和角的教學中，在討論線段的端點的作用時，學生需要構建射線和直線模型，理清直線、線段和射線的聯系和區別。很多時候，這是一種靜態的知識整理和發現過程，而在交流的時候，更多地需要學生完成一個較為完整的發現匯報。所以像以下的“想一想、填一填”的學習任務必不可少。

也許，這樣的課堂形態大大有別于第一學段的課堂，數學概括和邏輯演繹的教學成為了課堂的主體，從感性走向理性。教師需要順應學生的這種必然的發展需求，慢慢習慣從熱鬧的課堂走向理性的、相對靜態的課堂，“動靜結合”將是教師需要追求的教學藝術。

以前，筆者因接受的信息多，而思想混沌;現在，筆者卻因思考得多，而思想混沌。要在一節課完全實現教師的思考也許很難，整合思想，理出教法，還需教師在今后的教學中不斷鉆研、繼續努力。

參考文獻

[1]徐恒祥.“擦掉端點”不妥——由“線段、射線、直線之間的關系”案例引發的隨想[J].中小學數學：小學版，2015（Z1）.

[2]孫菁，陳慶憲.用好起點引發自學 創設素材加深理解——“線段、直線、射線和角”教學實錄與評析[J].小學數學數學版，2015（11）.

[3]王友盛.讓學生建立基礎幾何知識概念的教學探索[J].內蒙古教育，2014（10）.

[4]徐順湘.多法并舉 促進理解——對《認識射線、直線和角》教學設計的思考[J].小學教學設計，2015（35）.