“兩舊一新”背景下的三角函數(shù)教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化建議

摘 要：根據(jù)廣東省教育廳頒布的相關(guān)文件，2018級(jí)和2019級(jí)將在“兩舊一新”的背景下組織高中教學(xué)，面對(duì)藝術(shù)生這一特殊群體，數(shù)學(xué)教師應(yīng)如何在教學(xué)過(guò)程中融入課改新理念，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)藝術(shù)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？以三角函數(shù)為例，以藝術(shù)生為主要對(duì)象，結(jié)合新舊課標(biāo)和藝術(shù)生數(shù)學(xué)校本教材的使用經(jīng)驗(yàn)，提出三角函數(shù)教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化的一些建議。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù);藝術(shù)生;核心素養(yǎng);優(yōu)化

廣東省教育廳在2018年9月印發(fā)了《廣東省教育廳關(guān)于做好普通高中課程教材實(shí)施工作的通知》（粵教基函〔2018〕213號(hào)文），明確我省從2018年啟動(dòng)高考綜合改革。同時(shí)為有序銜接課程、教材、教學(xué)與考試改革，2018年、2019年9月入學(xué)的高一級(jí)繼續(xù)使用教育部2003年印發(fā)的普通高中課程方案和學(xué)科課程標(biāo)準(zhǔn)，使用現(xiàn)行國(guó)家課程教材。2020年秋季學(xué)期普通高中高一年級(jí)起實(shí)施新課程方案，使用新教材。為更好地做新舊過(guò)渡，文件也明確要求2018級(jí)、2019級(jí)課程實(shí)施中應(yīng)將高中課程教學(xué)改革新理念融入其中，突出學(xué)科核心素養(yǎng)，關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異和學(xué)習(xí)過(guò)程，這就是所謂的“兩舊一新”課改過(guò)渡期。一線教師應(yīng)如何在舊標(biāo)準(zhǔn)、舊教材、新高考的背景下，有機(jī)地融入新理念，培養(yǎng)藝術(shù)生的核心素養(yǎng)？筆者結(jié)合課題組成員近年來(lái)對(duì)我校藝術(shù)生數(shù)學(xué)教學(xué)的研究，對(duì)三角函數(shù)教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化如下。

一、熟悉學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，結(jié)合新標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)化符合學(xué)生發(fā)展需要的教學(xué)目標(biāo)

學(xué)生的身心發(fā)展與數(shù)學(xué)課程之間是相互影響和制約的。學(xué)生是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)者，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程實(shí)質(zhì)上是學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的構(gòu)建過(guò)程。因此數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的選擇與設(shè)計(jì)，應(yīng)該考慮學(xué)生已有的認(rèn)知水平、思維能力、興趣愛(ài)好和能力發(fā)展需要。教師是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的“過(guò)來(lái)人”，學(xué)生卻是三角函數(shù)的新生，數(shù)學(xué)更是藝術(shù)生眼中充滿期待卻略帶懼怕甚至失望的路。盡管我們可以根據(jù)經(jīng)驗(yàn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行處理，但能保證適合對(duì)專業(yè)有不同需求的學(xué)生群體嗎？能保證符合學(xué)生的發(fā)展需要嗎？能確保不超出學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的“最近發(fā)展區(qū)”嗎？如果不摸清學(xué)生的底子，就不能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，談不上有效教學(xué)了。

例如，我校近兩年與三四年前相比，學(xué)生中因?yàn)檠a(bǔ)錄生的比例大大提高，導(dǎo)致來(lái)自本區(qū)生源的學(xué)生從85%降低至10%，從高一起就到校外機(jī)構(gòu)參加數(shù)學(xué)輔導(dǎo)的學(xué)生比例提高了約60%，學(xué)生對(duì)老師數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)技能要求、知識(shí)處理能力要求更高。但同時(shí)學(xué)生對(duì)教師的依賴性更為明顯，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣有所下降，更多學(xué)生表現(xiàn)為為考而學(xué)，學(xué)生顯得更加被動(dòng)，反思的習(xí)慣和能力相對(duì)更弱。

又因?yàn)槿呛瘮?shù)在初中的教學(xué)要求中，只是解決直角三角形邊角關(guān)系的工具，因此對(duì)于我校藝術(shù)生來(lái)說(shuō)三角函數(shù)在初中積累的基礎(chǔ)大致是sin、cos、tan中對(duì)邊、鄰邊和斜邊的比值關(guān)系，因此他們的認(rèn)知中，遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒(méi)有把它與函數(shù)沾上關(guān)系，沒(méi)有描述變化的明顯感覺(jué)，更沒(méi)有周期性變化的印象。我校藝術(shù)生中有學(xué)生對(duì)三個(gè)三角函數(shù)的準(zhǔn)確比值關(guān)系還不太熟悉，甚至有個(gè)別學(xué)生還沒(méi)有把三角函數(shù)的名字與符號(hào)對(duì)應(yīng)起來(lái)，再加上部分學(xué)生在必修一的學(xué)習(xí)中深受打擊，因此我認(rèn)為要達(dá)到新舊課標(biāo)過(guò)渡的要求，對(duì)三角函數(shù)中的函數(shù)特征有所理解和應(yīng)用，就應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的情況有選擇和有計(jì)劃地實(shí)施教學(xué)。

二、調(diào)動(dòng)藝術(shù)生的非智力因素，優(yōu)化學(xué)生的意義識(shí)記，構(gòu)建三角函數(shù)高效“四基”學(xué)習(xí)模型

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家張奠宙先生對(duì)“四基”模型的解釋是數(shù)學(xué)基本知識(shí)的積累過(guò)程為第一維度，主要把基本知識(shí)形成配套鏈接，成為一條“知識(shí)鏈”，然后通過(guò)數(shù)學(xué)基本技能的演練過(guò)程的第二維度，由“變式”練習(xí)形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，再經(jīng)過(guò)第三維“數(shù)學(xué)思想方法”的提煉，形成主體的知識(shí)模塊。而第四個(gè)“基”——基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是填充三個(gè)維模塊的黏合劑，不構(gòu)成單獨(dú)的一個(gè)維度，前三個(gè)維度的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)和技能、思想方法交織在一起，滲透在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。

教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境，借助教師和數(shù)學(xué)學(xué)科自身的魅力，調(diào)動(dòng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的積極性，磨合學(xué)生自身的求知欲與自身數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之間的矛盾，使其主動(dòng)投入數(shù)學(xué)活動(dòng)當(dāng)中。

（一）利用心理完形激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力

有了半個(gè)學(xué)期的師生相處，我發(fā)現(xiàn)藝術(shù)生對(duì)自身的客觀條件認(rèn)識(shí)不充分，因此我采用制造心理缺口的辦法，打破學(xué)生原有的心理平衡：首先利用班會(huì)課指導(dǎo)學(xué)生做好生涯規(guī)劃，明確自己的專長(zhǎng)和發(fā)展方向。再在課前展示學(xué)生的入學(xué)成績(jī)、期中考試數(shù)據(jù)，讓學(xué)生看到自己與對(duì)手之間的差距。最后把近年高考、學(xué)業(yè)水平考試中三確函數(shù)的題目按難度進(jìn)行分值整理，讓學(xué)生根據(jù)自己的目標(biāo)找準(zhǔn)本段三角函數(shù)學(xué)習(xí)的定位。再利用人總是最大限度地追求內(nèi)心平衡的傾向，在心理完形的作用下，讓學(xué)生明白自己對(duì)三角函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)的理解，不可能一下子達(dá)到高考要求的水平，要相信經(jīng)過(guò)不斷學(xué)習(xí)后，總能把之前聽(tīng)不明白、學(xué)不會(huì)的知識(shí)理清楚，但前提是要接受它，并努力記住一些必要的知識(shí)點(diǎn)和公式，也要有自信，相信自己盡管對(duì)某些地方不太理解，但還是可以應(yīng)付一些題目的。這學(xué)期，全班一定要把三角函數(shù)的基本知識(shí)點(diǎn)和公式記下來(lái)，全部同學(xué)爭(zhēng)取把基礎(chǔ)題、容易題的得分拿下。

（二）明確每節(jié)課的目標(biāo)和每個(gè)階段的目標(biāo)

這啟發(fā)自企業(yè)管理中的“目標(biāo)管理”理念。它是以目標(biāo)為導(dǎo)向，以人為中心，以成果為標(biāo)準(zhǔn)，從而使組織和個(gè)人取得最佳業(yè)績(jī)的現(xiàn)代管理方法。類比運(yùn)用到三角函數(shù)教學(xué)中，讓藝術(shù)生在每節(jié)課前、每個(gè)階段都明確自己將要學(xué)習(xí)到什么或?qū)⒕邆涫裁礃拥哪芰?，這是激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的最好“誘惑”。我每節(jié)課上課前都把分層設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)投影出來(lái)，每個(gè)目標(biāo)后用不同數(shù)量的星星表示其重要性，五星表示最重要、最基礎(chǔ)，要求人人都要達(dá)到，而一星表示最難，為目標(biāo)定位高的同學(xué)而設(shè)定。下課前5分鐘，引導(dǎo)學(xué)生針對(duì)課前目標(biāo)進(jìn)行小結(jié)，學(xué)生在目標(biāo)明確的前提下參與數(shù)學(xué)活動(dòng)中，專注度和投入度有所提高。

（三）優(yōu)化學(xué)生的意義識(shí)記，提高學(xué)好三角函數(shù)的信心

譚國(guó)華老師曾說(shuō)過(guò)：“要學(xué)好數(shù)學(xué)不記數(shù)學(xué)公式是不可能的……沒(méi)有一個(gè)學(xué)科的學(xué)習(xí)不是建立在記憶的基礎(chǔ)上……”的確，數(shù)學(xué)公式記不住，就如同巧婦難為無(wú)米之炊。如果不記公式，或是每次使用時(shí)重新推導(dǎo)一次，會(huì)大大減慢解題速度，阻礙解題思路的順暢。由于三角函數(shù)一章的公式較其他章節(jié)多，高一藝術(shù)生會(huì)發(fā)現(xiàn)公式總是記不完、記不熟，因此在教學(xué)中要注意以下三個(gè)原則。

1.直觀

筆者在十多年的實(shí)際教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，把三角函數(shù)所有誘導(dǎo)公式改記為“縱變橫不變，符號(hào)看象限。”避免了傳統(tǒng)記憶口訣容易導(dǎo)致的錯(cuò)誤，更容易為學(xué)生所接受。建議在教學(xué)或復(fù)習(xí)誘導(dǎo)公式前，先教會(huì)學(xué)生判斷軸線角的位置，在遇到需要誘導(dǎo)時(shí)，就判斷軸線角終邊是在縱軸還是橫軸上，這種處理得到不少學(xué)生點(diǎn)贊。

2.自然

自然又分為“詞義自然”和“語(yǔ)音自然”兩種。

先看詞義自然，如前文所說(shuō)，結(jié)合藝術(shù)生的需要，在處理三角函數(shù)定義時(shí)，強(qiáng)調(diào)要結(jié)合圖（直角坐標(biāo)系中銳角的三角函數(shù)的定義）建立這樣的有意義記憶鏈：“正弦”—“sin”—等于“對(duì)比斜”（強(qiáng)調(diào)因“正”而“對(duì)”）——等于“y比r”（強(qiáng)調(diào)因“對(duì)”而“yes”），在記憶和差角正弦公式時(shí)，把記憶鏈補(bǔ)上，因“正”而“同”號(hào)（即和角為加，差角為減）。

再看語(yǔ)音自然。這種方法是運(yùn)用了語(yǔ)言學(xué)的技巧，因?yàn)槟吧虿缓糜浀膬?nèi)容，讀多了就會(huì)產(chǎn)生一種語(yǔ)音習(xí)慣或“語(yǔ)感”，變成不再陌生的內(nèi)容。我嘗試在還沒(méi)有學(xué)習(xí)公式前，就提前讓學(xué)生每天必讀核心公式，其中和差角的正余弦公式我參考課題組成員的教法，sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ簡(jiǎn)記為：sin等于sin-co-co-sin，同號(hào)。cos（α±β）=cosαcosβ±sinαsinβ簡(jiǎn)記為：cos等于co-co-sin-sin，異號(hào)。又例如正弦函數(shù)的五點(diǎn)作圖法，五個(gè)基本點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是0，π/2，π，3π/2，2π，縱坐標(biāo)分別是0，1，0，-1，0等等，其實(shí)數(shù)學(xué)中很多知識(shí)點(diǎn)或公式，都可以通過(guò)熟讀形成語(yǔ)感的方法來(lái)輔助記憶。

3.實(shí)用

人們常說(shuō)y=Asin（ωx+φ）+b（A≠0，ω≠0）解析式是“三個(gè)一”的形式，即一次、一項(xiàng)和一個(gè)，正是實(shí)用性原則的最佳例子。因?yàn)榻忸}找突破口，正是圍繞這“三個(gè)一”找到降次、化一等變形的理由。

此外，根據(jù)艾賓浩斯遺忘曲線規(guī)律指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有意義記憶，可以事半功倍。以讓藝術(shù)生記憶核心公式為例，在即將忘記前利用默寫(xiě)、小測(cè)、作業(yè)等形式幫助學(xué)生進(jìn)行復(fù)習(xí)，還可以避免藝術(shù)生對(duì)三角函數(shù)產(chǎn)生厭惡情緒。

教師還要利用一切可利用的資源和手段，調(diào)動(dòng)藝術(shù)生的非智力因素，激發(fā)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的興趣和動(dòng)力，利用“積累喜悅”的方法，建議學(xué)生用朋友圈或日記，積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的每一點(diǎn)喜悅，讓學(xué)生全情投入到三角函數(shù)的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，自信并努力地從零開(kāi)始，積累三角函數(shù)的基本知識(shí)，耐心地引導(dǎo)學(xué)生形成三角函數(shù)的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。最終構(gòu)建穩(wěn)定的“四基”模型。

三、以整體性教學(xué)的觀念優(yōu)化三角函數(shù)的教學(xué)

新授課中最容易出現(xiàn)的現(xiàn)象就是學(xué)生當(dāng)堂運(yùn)用單個(gè)知識(shí)點(diǎn)是合格的，但課后把學(xué)過(guò)的兩個(gè)或以上知識(shí)點(diǎn)混合進(jìn)行考查，就會(huì)出現(xiàn)困難。這是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)不理解，但因藝術(shù)生課時(shí)緊、進(jìn)度快，所以教師需要從整體上對(duì)三角函數(shù)的核心內(nèi)容有所把握，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。

以三角恒等變換為例，借助圖像以角為主線，明確自己所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的位置。復(fù)習(xí)時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生完善圖像來(lái)處理知識(shí)整體中的各個(gè)部分。把三角恒等變換的學(xué)習(xí)經(jīng)過(guò)整體到局部，再由局部到整體的過(guò)程，使之清晰和有條理。

四、小結(jié)

三角函數(shù)是解決三角形、向量、坐標(biāo)系與參數(shù)方程的工具，它更是一種描述周期性變化的函數(shù)模型。在“兩舊一新”背景下融入新課標(biāo)理念，培養(yǎng)藝術(shù)生的核心素養(yǎng)，就要根據(jù)不同學(xué)生的發(fā)展個(gè)性差異和需求，對(duì)學(xué)生做分層次的要求和目標(biāo)制定，對(duì)藝術(shù)生的數(shù)學(xué)教學(xué)更要有所取舍，做好整體規(guī)劃，設(shè)計(jì)滿足不同層次學(xué)生需求的基本學(xué)習(xí)活動(dòng)，優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容。

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注：本文系廣州市增城區(qū)教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃（2017年度）立項(xiàng)課題“高中藝術(shù)生的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容優(yōu)化的研究”（編號(hào)：zc2017004）的階段性研究成果。

作者簡(jiǎn)介：周燕儀（1981.10—），數(shù)學(xué)中學(xué)一級(jí)教師，本科，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。

編輯 張佳琪