解題思路受阻與數學元認知培養(yǎng)

王健發(fā)

【摘要】本文先回顧了元認知理論及構成要素之間的關系，從數學元認知理論上探討了學生思路受阻的原因，最后提出了通過開發(fā)學生的數學元認識有利于在學生思路受阻時可以通過檢測、控制、調整思路從而達到“柳暗花明”。

【關鍵詞】數學元認知；核心素養(yǎng)；思維受阻；解題分析

所謂元認知就是認知主體，根據其掌握的有關認知的知識，在認知過程中獲得相應的情感體驗，從而對當前或今后認知活動進行調節(jié)和監(jiān)控。它包括元認知知識，元認知體驗和元認知調控三個組成部分。其中元認知知識是以長時記憶的形式保留在記憶中，沒有被當前的活動所激發(fā)是不會被主體所利用的，而情緒愉悅的元認知體驗可以最大限度的激活儲存在記憶中的元認知知識，將其轉化到工作狀態(tài)，同時體驗也為調節(jié)提供必要的信息，體驗越豐富則對思維的調節(jié)會越順利，更有針對性，在思路產生偏差時能及時進行修改，因此元認識知識是元認知體驗和元認知監(jiān)控的前提，元認知體驗是元認知知識和元認知監(jiān)控聯系的橋梁，元認知監(jiān)控是最終的目的和核心，三者之間相互依存，互相制約，構成一個循環(huán)的統(tǒng)一整體，螺旋式上升。

一、兩道例題及思路受阻元認知理論分析

學生A、B的思路有值得肯定的地方，學生A的參數分離沒有考慮到x+1的正負，因此是錯誤的，當然也可經過分類討論進行修改，但是其后g（x）的最值難以完成，學生B也是g（x）的最值難以求得（思路受阻）。

分析兩位同學思路受阻的原因大致有以下幾點：1）對恒成立這一類問題知識（元認知知識）準備不足，這類問題是高中數學的重難點，也是檢測學生數學水平較好的題型，更是對學生核心素養(yǎng)（數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析）的考查。就該題而言涉及到二次函數，指數函數，圖像變換，直線過定點，切線等知識點，如果對上述知識點沒有清楚的掌握，抑或雖然掌握了但是并不能將其激活到工作記憶中，思路依然會受阻。

學生C思路暢通得益于平時經驗的積累（有錯誤的體驗也有正確的體驗）和對這類問題的整體把控（解決這類問題的常見三種方法①參數分離法、②整體策略，③分離函數法），當前兩種方法思路受阻時能及時調整策略并迅速激活相關的元認知知識，顯然對于此題的求解過程認知主體根據當前的認知體驗及時調整認知策略從而控制整個解題的思路。

本題我在班上進行了統(tǒng)計，第二問的平均分大約1.6分。深入調查發(fā)現不能很好的完成該題，尤其是一些成績好的同學也沒有得高分的原因有以下幾點：一是時間不夠，二是盲目變形，沒有方向，缺乏對解題過程的有效調控，三是缺乏應對二元問題的經驗（元認知體驗），羅增儒教授說：“解題經驗的積累，有利于解題念頭的誘發(fā)，有助于直覺性題感的形成”。四是對曾經出現過類似思維受阻的問題沒有引起足夠的重視，這種類型的問題在《天利38套》上多次出現，但是學生卻沒有足夠的知識，也沒有產生足夠強烈的體驗，從而沒有形成這種類型問題的解題模式（元認知調控）這正是學生缺乏元認識的表現。

二、在數學教學中對學生進行數學元認知培養(yǎng)

從上述兩道例題可以看出元認知在數學解題過程中起著重要的作用，然而在目前的數學教學中大部分老師忽視了對學生進行元認知能力的培訓，甚至自己都沒有相關元認知理論知識。課堂教學表現為：重結果、缺乏對結果形成的思維過程的研究，重知識、缺乏對知識生產過程的探究，以題海戰(zhàn)術取代了對解題過程的分析包過思維分析、結構分析、長度分析，更談不上從系統(tǒng)論和方法論的角度進行總結、其次是老師滿堂灌，學生被動地接受。老師提出的問題沒有給予學生充分的思考老師自己就給出了標準答案，剝奪了學生對數學問題的體驗，一個好的問題會使學生產生愉快的體驗，從而樹立數學自信，形成沿著好的趨勢發(fā)展的連鎖反應。因而，在數學教學中，要引導學生主動去分析問題，確定解題目標，制定解題計劃，調控解題過程。

1.加強數學解題的探究能力教學

美國著名數學教育家G·波利亞說：“掌握數學就是意味著善于解題。”解題教學是課堂教學的關鍵環(huán)節(jié)，通過解題教學培養(yǎng)學生對數學問題的探究能力，選取有價值的好題從思維深度和廣度開發(fā)學生的解題智慧。暴露數學解題的思維活動，是新課標的體現也是提高數學核心素養(yǎng)的關鍵，教師宏觀調控問題的探究過程，并引導學生關注自己對知識的掌握情況，體驗解題過程的得失，及時調整解題策略。同時，在探究過程中與學生一起享受數學的樂趣，增強數學對數學的興趣，激發(fā)學習數學的自主性，樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神。

2.優(yōu)化學生數學的認知結構

數學知識是數學解題活動的出發(fā)點，有著豐富的數學知識并且能夠在解題過程中迅速進行合理的調配自然能提高解題效率。所以，波利亞曾說：“貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本。”作為教師在教學過程中應指導學生做到如下幾點：

①讓學生深刻理解數學概念、掌握數學定理、公式、法則、解題方法和邏輯體系；

②一題多解，多題一解，一題多變。由于學生思維品質的多樣性，以及不同學生思維水平的差異性，決定了教師的教學要因材施教，因人施教，一題多解可以讓不同思維水平的學生都能產生元認知體驗，多題一解、一題多變可以更好地形成知識網絡，能過從不同的角度去激發(fā)思維的靈活性、獨創(chuàng)性和批判性，培養(yǎng)學生的遷移能力，一題多變還有助于學生調控學生解題情緒，做到“遇陌生而不驚”。既熟知常規(guī)題解題模式，并自覺使用模式解題，同時又突破模式，不能成為模式的奴隸，而是思維滕飛的跑道，從而豐富學生的元認知知識，提高學生對解題過程的監(jiān)控能力。

③在知識交匯處進行考查，例題1就是典型的從知識交匯處考查學生的核心素養(yǎng)，題目不是很難，但是所考查的知識點很多，每個知識點又都可以進行思維發(fā)散，要解答好這類問題除了對各個知識點掌握之外，還必須要對這些知識進行調控，有效地組織起來，而這正是高水平元認知的表現。

3.注重解題后的反思

常見的題后反思主要集中在本題考查哪些數學知識，關鍵是什么，用到什么數學思想。當然這些需要進行反思，但更重要的應該是反思學生思維的產生過程，我們知道知識點是死的，但人的思維過程是活的，一個題之所以能夠被解答出來，其本質應該是在死的知識點基礎上產生了活的有效的數學思維，因而題后反思就應該要將隱形的數學思維顯現出來，讓自己能夠在多次反思過后看到自己的思維過程，只有這樣當解題過程中思路受阻時我們才能對我們思維進行有效的調控。

總之，學生解題思維受阻表面上是數學知識的貧乏，數學概念、法則、原理、性質理解不透切，其核心本質是數學元認知的缺失，導致數學思維水平不高，因此要在數學教學中增強學生元認知知識學習的自主性，探究和體驗數學解題過程，監(jiān)控調節(jié)解題方向，從而整體提高學生的數學核心素養(yǎng)。

[本文是惠州市級課題《高中學生數學元認知能力培養(yǎng)及實踐探索》階段性研究成果]

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