“閱讀與思考——錯在哪兒”教學設計

王毅

摘要：人教A版的數學教材中設置了“閱讀與思考”這一板塊，其被定義為補充性或輔助性知識，對培養學生數學閱讀能力、自主探究能力都具有非常積極的作用。教師對這部分內容應予以重視，進行科學合理地處理，以輔助教學，獲得更好的成效。“閱讀與思考——錯在哪兒”的教學設計給出了處理這部分內容的示例。

關鍵詞：不等式;問題探究;相互制約

人教A版的數學教材中設置了“閱讀與思考”這一板塊，其被定義為補充性或輔助性知識，既能幫助學生更好地理解相關知識，又能綜合運用相關知識解決問題，注重知識與方法的延伸和拓展，對培養學生數學閱讀能力、自主探究能力都具有非常積極的作用。因此，教師對這部分內容不能“視而不見”，應予以重視，并科學合理地處理這部分教學內容，以輔助教學，獲得更好的成效。

“閱讀與思考——錯在哪兒”的教學設計設置于人教A版必修5介紹不等式性質及線性規劃之后，需要學生綜合運用這些知識對一類不等式取值范圍問題進行探究，引導學生分析錯誤的根源，理解變量的相互制約關系。在此基礎上，掌握該問題的兩類正確解法，并注意變量相互制約關系在解題中的應用。如下是本文所構建的教學設計：

1教學目標

（1）綜合運用不等式相關知識對一類不等式取值范圍問題及常見錯因進行探究，掌握處理該問題的兩類正確解法;

（2）理解變量的相互制約關系，并注意變量相互制約關系在解題中的應用。

2 重點與難點

重點：對解決該問題的線性規劃法（幾何法）和待定系數法、換元法（代數法）的掌握。

難點：對錯誤解法的分析，特別是對變量相互制約關系的理解。

3 教學過程

（1）問題回顧

例·已知 1≤x≤3 ，求

-1≤y≤1

（1）3x+y的取值范圍;

（2）y-x的取值范圍。

師：請同學們回顧這樣一個熟悉的不等式取值范圍求解問題，給出你的答案。

生：第（1）問的答案是[2，10]，第（2）問的答案是[-4，0]。

師：能談一談第（2）問的求解思路嗎？

生：先求-x的取值范圍，再用y+（ -x）得到答案。

師：很好！實際上由r的范圍求z的范圍利用了不等式性質4：如果a>b，c<0，那么acb，c>d，那么a+c>b+d。

【設計意圖】從簡單問題人手，通過問題解決回顧相關基礎知識和基本方法。于問題解決中融入知識回顧、方法梳理，為后面核心問題探究做鋪墊。

（2）問題變式

例2已知1 ≤x+y≤3，求4x+2y的取值

-1≤x-y≤1范圍。

師：我們把問題變一下，請同學們再試著解決。

生：在課堂練習本上自主完成。

師：巡視、指導、收集代表性解法。

+2y≤12。

生2：令x=4x+2y，則y=2x+z/2，利用線性規劃方法可得2≤4 x+2y≤10。

【設計意圖】引出核心問題，放手讓學生自主解決，充分體驗先犯錯，再糾錯的過程。

①探究一錯在哪兒？

師：兩種不同的思路，得到兩種不同的結果，那么至少有一種思路是錯誤的。請學習小組展開討論，同學之間相互質疑、糾錯。

生：在學習小組的討論中充分發表個人觀點。

師：請學生代表發言。

生3：生1的做法從第一步到第二步推導正確，第二步到第三步也是正確的，所以我認為生1的做法是對的。

生4：用幾何畫板驗證生2的線性規劃法，正確。

師：在學生發言基礎上，從線性規劃角度和變量相關性角度分析錯因，強調變量之間的相互制約關系。

從線性規劃角度：可行域變大;

從變量相關性角度：前者變量相互制約，后者變量相互獨立。

【設計意圖】通過學生獨立思考、生生互動、師生互動等多種方式，形成思維碰撞，理清出錯根源，并提煉出第一種正確解法——線性規劃法。

②探究二這樣做對嗎？

師：線性規劃法是我們從形的角度解決此類問題的方法，剛才我們還找到了從代數角度利用不等式性質處理問題出錯的根源在于破壞了變量之間的相互制約關系。既然找到了問題的癥結所在，那我們可以重新嘗試代數法解決問題。

再兩式相加：2≤3（x+y）+（x-y）≤10，即2≤4x+2y≤l0。

師：盡管該同學的答案是對的，但我仍心存疑慮。因為整個處理過程和生1的錯誤思路非常相似，這樣做真的對嗎？

生：這一步：4 x+2y=3（x+y）+（x—y）整體代換保持了變量的相互制約關系，所以我認為是對的。

師：從技術處理層面，這個式子4x+2y=3（ x+y）+（x-y）是怎樣得到的？

生：湊出來的。

師：很好！但如果系數比較復雜，不好湊，我們可以用待定系數法解決，從而引出對待定系數法的介紹。

【設計意圖】引導學生在不破壞變量制約關系前提下從代數角度解決問題，通過與相似的錯誤思路對比，讓學生在對比中感悟方法的關鍵點，介紹待定系數法。

③探究三源問題和問題變式有什么聯系？

求3x+y的取值范圍。求4x+2y的取值范圍。

師：既然從代數角度仍然可以利用不等式的性質進行處理，那么參照源問題，兩者有沒有什么聯系？

生：換元試試，令m=x+y，n=x—y，則問題轉化為已知1≤m≤3，求3m+n的取值范圍。

-1≤n≤1

師：這實際上就轉化為我們的源問題了。在轉化過程中，坐標系發生了旋轉伸縮變換。我們將在今后高等數學的學習中有所接觸。

【設計意圖】引導學生嘗試將問題變式轉化為源問題進行處理，介紹換元法，體悟轉化與劃歸的數學思想方法。

（3）方法提煉

師：通過探究，同學們對這類問題的處理方法已經比較清楚了。具體有哪些方法？

生：有兩類，一類是幾何法，即線性規劃法，一類是代數法，即待定系數法或換元法。

【設計意圖】培養學生養成解題后及時反思總結的習慣。

（4）鞏固練習

練習：設f（x） =ax2 +bx滿足1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍。

師：請同學們完成鞏固練習。

生：公布答案并指出所用方法。

【設計意圖】加強學生對方法的過手訓練。

（5）拓展訓練

判斷下列解題過程的正誤，并說明理由。

①∵sinx的最大值為l，cOsZ的最大值為1，∴y=sinx+ cosx（x∈R）的最大值為2。

師：我們收集了同學們平時的一些常見做法，結合今天的探究內容，我們回頭再看看這些做法對嗎？為什么？

生：獨立思考、小組討論、思路分享，上面三題均是由于忽略變量的相互制約關系而出錯。

【設計意圖】梳理因忽略變量相關性而出錯的一些試題，觸類旁通，加深對變量相互制約關系的認識，突出對數學思想方法本質的理解。

（6）課堂小結

師：通過今天的共同學習討論，你有哪些收獲？

生：充分發表自己的觀點。

師：再進行補充提煉。

4 課堂節外生枝

在完成問題探究，進入方法提煉環節，突然有學生舉手提問。

（1）學生思路展示

解：由不等式1≤x+y≤3①

-1≤x-y≤1②

①+②得0≤2x≤4③

①×2得？2≤2x+2y≤6④

③+④得？2≤4x+2y≤10

這樣做可以嗎？

（2）問題解決過程

①針對學生問題，引導同學們開展小組討論;

②學生代表發言，認為做法破壞了不等式的整體性，答案正確具有巧合性;

③教師利用幾何畫板驗證說明。

（3）結論

該同學在不等式處理過程中破壞了變量之間的相互制約關系，前后不等式組不等價，這樣的處理方式顯然是錯誤的。之所以答案正確，是數據設置的巧合而已。

5 教學反思

通過這節公開課的教學嘗試，我們認識到人教A版的閱讀與思考這一拓展性板塊，它篇幅短、內容新、閱讀性強，集知識性、科學性、趣味性、教育性于一身，是對教材正文內容的補充、拓展和運用，教師應引導學生用好這塊內容，提高學生解決數學問題的能力。而對于這一板塊的學習，根據內容的不同，教師可采用鼓勵學生課后閱讀自學、引導學習小組開展合作學習、在教師指導下開展課堂探究學習等多種方式進行。本節課采取的是第三種學習方式，課堂氛圍好，學生很快融入其中，特別愿意主動去思考。在課堂小結的時候有學生還談到，通過今天的學習，他們感悟到解決數學問題應該大膽猜想，小心求證。無論哪種學習方式，我們都應該倡導學生更加主動地進行探究、交流和合作，在交流過程中，教師應鼓勵學生大膽質疑，課堂應允許節外生枝，這節課在方法提煉環節，有學生突然舉手提問，對問題有不用的解法，對解法的正確性存在疑慮，這一環節不在教師的教學預設范圍內，甚至打亂了教師原本的教學安排。但在問題的解決過程中.我們不僅解答了同學的疑問，還再次加深了全班同學對變量相互制約關系的理解，收到了較好的教學效果。

參考文獻

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