轉化思想在數學解題中的運用策略

【摘 要】轉化是一種重要的解題思想，是一種有效的思維方式和最基本的思維策略。轉化思想就是指在研究和解決問題時，采用某種方法和手段將問題通過變換使之轉化，讓問題最終得以解決的一種思想方法。轉化思想的本質，就是實現由難到易、由繁到簡、化抽象為具體、從未知到已知等。本文探討了在數學解題過程中常用的幾種轉化策略。

【關鍵詞】轉化思想;數學解題;運用策略

【中圖分類號】G712? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0024-03

數學家G·波利亞在《怎樣解題》中說過，數學解題是命題的連續變換[1]。蘇聯數學家雅諾夫斯卡啞在闡述解題意味著什么時說：“解題——就是意味著把所要解決的問題轉化為已經解決的問題。”從這個意義上說，解題就是轉化，解題的過程就是運用相應的方法和技巧把待解決的問題轉化為已解決問題的過程。由此可見，轉化思想在數學解題中的重要作用。

1? ?結構轉化

有很多數學問題，在對題目的數式結構進行認真分析和研究后發現，可運用相應的數式變換方法，把所求問題的結構轉化為已知或熟知的結構，以達到化未知為已知，化陌生為熟悉。這一轉化策略在數學解題中應用

廣泛。

例1.求函數的最值。

分析：通過觀察發現，可利用公式對題目中函數的解析式進行結構轉化，將問題轉化為關于的一元二次函數的最值

問題。

解：函數，可化為。因為，所以當時，有;當時，有。

例2.在代數式的展開式中，常數項為____。

解析：分析后發現，可將題目中代數式的結構轉化為

，前面一部分的展開式中不含常數項，后一部分的展開式中的常數項為-5，所以答案為-5。

2? ?數形轉化

在解決問題時，根據題目中的數式特征，把相應的數量關系轉化為圖形的性質，或者把圖形的性質轉化為數量關系，從而使復雜問題簡單化，抽象問題具體化。

例3.已知，求函數的值域。

分析：由函數表達式的結構特點很容易聯想到直線的斜率公式。因此，原問題可轉化為求直線斜率的取值范圍。

解：可看作是點與單位圓上的點連線的斜率，如圖1，設直線的方程為，聯立方程消去得，令，解得，結合圖形得直線斜率的取值范圍是，即所求函數的值域為。

3? ?正反轉化

當正面解決問題遇到困難或解決方案相對繁瑣時，可試著考慮問題的反面，以探求解決方案，這就是“正難則反”的轉化策略。若題目中出現“至多”“至少”等存在量詞，通常可考慮采用這一轉化策略。

例4.已知非空集合中至少有一個元素小于零，求實數的取值范圍。

分析：集合中的元素即為關于方程的實數根。因此，題意為方程有實數根且至少有一個負的實數根。若是從正面入手，則要對所有可能情況進行分類討論，較為繁瑣.而若考慮其反面（即沒有負根），則要簡單得多。

解：由解得或

，這是集合非空（即方程有實數解）情況下實數的取值范圍。

當方程有兩個非負實根時，有

解得，

所以非空集合中至少有一個元素小于零時實數

的取值范圍是。

例5.從5名男生、3名女生中選派4人參加某項社會實踐活動，若要求至少有1名女生，則不同的選派方案種數為（? ?）。

A.28? ? ?B.65? ? ?C.56? ? ?D.60

解析：由總的選派方案種數，減去女生都不參加（只有男生參加）的選派方案種數得，選B。

4? ?動與靜轉化

數學中的動態問題反映的是運動變化中的數量和位置關系，是解決問題的一個難點，學生常常感到無從下手。面對此類問題，首先應明確動與靜是相對的，可以相互轉化。接下來關鍵是抓住圖形運動的規律，或者是動點的運動軌跡，也就是找到運動中的不變性，以靜制動，將動態問題轉化為靜態問題來解決[2]。

例6.在坐標平面上有一運動著的梯形ABCD，AD∥BC，∠C=45°，∠A=90°，AB=AD=，梯形在OA+OB=4的條件下運動，求原點O到直線CD的最短距離。

分析：題設中的條件概括起來有兩個：一個是運動的梯形ABCD，另一個是其運動的條件OA+OB=4。該梯形的結構已經清楚，解題的關鍵是緊扣第二個條件。數學公式OA+OB=4的含義讓我們想到橢圓的定義，但問題是，這里A，B是動點，O是定點。怎么辦？其實只需認識到“動”和“靜”是相對的，可以相互轉化，問題便可以迎刃而解。

解：這里視梯形靜止而原點O是運動的，則由OA+OB=4，AB=可知，動點O的軌跡是以A，B為焦點的橢圓。如圖2，建立以AB中點O′為“原點”，AB中垂線為軸的新坐標系，則CD的直線方程為

。動點O的軌跡方程是，設O在新坐標系下的坐標為，則O到直線CD的距離為≥，當且僅當時，原點O到直線CD的距離最短，為。

5? ?整體與部分的轉化

5.1? 整體化為部分

整體由部分組成。在解決問題時，如果研究對象包含多種情形，則需要把研究對象化整為零，通過各個擊破，來實現整體問題的解決。

例7.解關于的不等式≥。

分析：這是一個含參數的無理不等式，因此要考慮參數取值的不同情形下不等式解的情況。

解：在同一平面直角坐標系中畫出函數和的圖像，即一個半圓≥和一條直線（如圖3），為直線在軸上的截距，直線和半圓相切時，算得，根據直線與半圓的交點情況，結合的范圍，得：

（1）當≤時，有≤≤3;

（2）當≤3時，解方程得直線與半圓交點的橫坐標，從而得不等式的解為≤≤3;

（3）當≤時，≤≤;

（4）當時，不等式無解。

5.2? 部分化為整體

當孤立地考慮一個數學問題而難以解決時，不妨對研究對象展開關系聯想，嘗試將研究對象視作某一更為熟悉的“整體”的部分，從整體上把握與處理問題，往往能化陌生為熟悉，化難為易。

圖4

例8.若三棱錐的三個側面兩兩垂直，且側棱長均為2，求其外接球的表面積。

分析：本題的關鍵是怎樣得到三棱錐的外接球，進而求得外接球的半徑長。單獨考慮三棱錐的外接球是很難想象出的，而若根據題中三棱錐的特征，將該三棱錐放在一個相應的正方體中來考慮，則可將三棱錐的外接球問題轉化為熟悉的正方體外接球問題。

解：把滿足題設條件的三棱錐“補”成如圖4所示的正方體，則三棱錐的外接球即為圖中正方體的外接球。求得正方體外接球的半徑為，故所求三棱錐外接球的表面積為。

轉化思想是數學解題中一種重要且有效的思維方式和思維策略。鑒于其在數學解題中的重要作用，教師在解題教學過程中，應注重引導學生運用轉化思想解決問題，掌握常用的轉化策略，提高解題能力。

【參考文獻】

[1]G·波利亞.怎樣解題[M].科學出版社，1982.

[2]朱其超.借助數形結合簡化和避免分類討論問題[J].中學數學教學參考，2012（10）.

【作者簡介】

朱其超（1973～），男，安徽宿州人，講師，學歷：碩士，研究方向：數學課程論、數學學科教學論。