初高中銜接教學中數學抽象的案例研究

【摘要】初高中銜接教學，不單單是學習習慣的改變、數學知識增多等，更是漸進式發展學生數學核心素養的重要階段。數學抽象是“六大”核心素養之首，是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。函數的單調性，是函數的一個重要性質，也是函數中一個重要的概念。在函數單調性概念的形成中，經歷由具體到抽象、由圖形語言和自然語言到符號語言表達的過程，是發展學生的數學抽象素養一個很好的載體。本文嘗試以函數單調性教學中3個教學片斷解析數學抽象的三個水平層次，探討“數學抽象”核心素養的課堂教學。

【關鍵詞】數學抽象；單調性；核心素養

初高中銜接教學，不單單是學習習慣的改變、數學知識增多等，更是漸進式發展提升學生數學核心素養的重要階段。數學抽象是“六大”核心素養之首，是數學的基本思想，是形成理性思維的重要基礎，反映了數學的本質特征，貫穿在數學產生、發展、應用的過程中。下面以函數單調性的教學中三個教學片斷為例，探討“數學抽象”核心素養的課堂教學。

一、教學片斷1：（定義的抽象）

師：同學們，我們都上過坡吧！請大家在紙上用筆畫出坡的形狀。

學生紛紛動筆，約一分鐘后。

師：請同學們把你們所畫的相互間交流一下，等下請你們把畫得不同的、具有代表性的交上來，將它們投影出來。

約2分鐘后，學生交上所畫的。我挑出四份將它們投影如下：

師：還有其他的形狀嗎？

生1：這樣也是的嗎？

生1將所畫的交上來，我將它投影如下：

師：請同學們討論一下，圖2能否表示上坡的形狀？

同學們紛紛議論，交流各自不同的看法。約一分鐘后，筆者請一位代表回答。

生2：這也是上坡的形狀，因為它表示的是人隨著時間推移在上升，斷開的地方可以當作臺階。

師：現在我們將這些曲線放在平面直角坐標系中，請同學們觀察它們有什么共同特點？

生3：曲線上的y值隨x的增大而增大。

師：我們能否用通過曲線上的點的坐標表達這些曲線的特點呢？幾個點比較合適呢？

問題提出后，有的同學顯得有點茫然，有的同學呈苦苦思索狀。

生4：這個有點難，難就難在曲線上有無數個點，要是點是有限的就好辦了，最好是兩個。

師：那你能寫出圖4中五點的坐標滿足的關系嗎？

生4：

師：若圖4中的點A與點B它們在曲線可以任意運動，你能說出它們的坐標關系嗎？

生5：若則有。

師：這樣的A、B兩點能否代表圖4中曲線上所有點的坐標所滿足的關系嗎？請同學們思考一下，我們可以用什么語言來描述圖1中上升曲線？

同學們經過了相互交流，得到如下的表述：

對于一個給定區間上任意兩個，若則有。

師：這就是我們今天學習的函數單調性中單調遞增函數的定義。

設計意圖：筆者以上坡來引入單調性，相比教材觀察函數的圖像導入，更為直觀具體，更貼近學生的生活，有利于學生抽象出單調性概念，并能用數學符號表達。函數的單調性是函數性質一個非常重要的性質，也是今后學習導數與斜率的基礎。我們需用圖形、文字、符號三種語言來詮釋它，學生才能深刻理解函數的單調性。從上坡作為引入情境，讓學生抽象其曲線形狀，然后引入平面直角坐標系，轉化為研究曲線上點的坐標的關系，最后簡化為研究曲線上任意兩點的坐標關系來研究函數的單調性。這其中包含了三個抽象過程：一是從上坡抽象為曲線形狀；二是從曲線形狀抽象為用若干點坐標來描述其上升趨勢；三是從若干點坐標簡化為任意兩點坐標來描述其上升趨勢，這里對“任意”量詞的理解是學生學習的一個難點，最終抽象為嚴格化的定義。

二、教學片斷2：（定義的應用）

1.如圖，是定義在閉區間[-7，8]上的函數y=f（x）的圖象，根據圖象說出y=f（x）的單調區間，以及在每一單調區間上，函數y=f（x）是增函數還是減函數。

2.根據圖像說出函數，，的單調區間。

3.證明：函數在（1，+∞）上是增函數.

4.判斷函數在R上是增函數還是減函數？并證明你的結論？

（讓學生獨立自主完成上述練習題，教師講解后，要留一定的時間給學生反思回顧）

設計意圖：本例設置4個小題：第1小題從圖像判斷函數單調性；第2小題是由函解析式聯想到圖像，再由圖像判斷函數單調性，這三個函數分別是正比例函數、二次函數及反比例函數，學生在初中已經學習過；第3小題是直接用定義證明，對學生數學運算要求比較高；第4小題含參一次函數單調性的判斷。

首先是學生可以通過對前2個小題的觀察、比較、分析等，對函數單調性的圖形語言更明了，而函數單調性符號語言與初中對函數圖像變化描述的自然語言對比，從而能主動建構為形成三種語言表述的嚴謹概念系統；其次，后2個小題為學生及時提供應用概念進行推理、論證的機會，在應用中強化概念，以防止由于沒有經歷概念形成的原始過程而出現的概念加工不充分、理解不深刻的情況，而其中的數學運算及分類討論，也滲透了數學核心素養。學生獨立自主完成有關練習題，我們教師對練習題加以點評分析后，要留一定的時間給學生去反思回顧，這樣可以使學生經歷一次新的抽象概括過程，能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題。從而深化概念的理解，使概念掌握得牢固，并能用來解決新的問題。

三、教學片斷3（定義的拓展）

1.函數f（x）的定義域為D，若對，有.試判斷函數f（x）在定義域為D上的單調性。

2.已知函數f（x）是R上單調遞增函數，且f（1）=0，若，求x的取值范圍。

3.已知函數，試求a的取值范圍。

設計意圖：第1小題，由，當 即有或

有即有，故函數 f（x）在定義域為D上是減函數。這是函數單調性定義的變式，這種等價的形式化與斜率、導數定義形式一致。通過形式化理解單調性的抽象結構，能夠理解數學表達一般性，有助于學生能夠感悟高度概括、有序多級的數學知識體系。第2小題，從函數單調性定義得出，有有或依此作出函數草圖，易得出結論c>2或x<1，有助于學生從符號語言與圖形語言兩個方面理解函數單調性，可以在綜合的情境中抽象出數學問題，并用恰當的數學語言予以表達。第3題，分段函數的單調性，對應片斷1中圖3最后一種情形，注意x=1處應滿足f -（0）≥f +（0）即a≤4，這是一種不連續的分段函數的單調性，需把握分段函數的圖形特征，將函數單調性的定義運用在特定的點，并用準確的數學語言予以表達，從而感悟函數單調性中x1、x2的任意性，理解單調性定義的一般性。

四、案例反思

《普通高中數學課程標準》（2017年版）附錄1（數學學科核心素養的水平劃分），對六大數學核心素養均劃分為三個水平層次。筆者試圖以三個教學片斷對應數學抽象的三個水平層次作比較初淺的解析。

教學片斷1：學生能從具體情境抽象出數學單調性概念，并能用數學符號表示；教學片斷2：學生理解函數單調性的三種語言的表述，并能用之判斷證明；教學片斷3：學生能在綜合情境中恰當應用函數單調性數學語言，理解單調性不同的形式表達。

對于上述三個教學片斷中，筆者認為教學片斷1才是我們單調性教學的難點，也應該是教學亮點。數學概念的教學，應根植于學生的生活土壤，我們呈現給學生的知識應該是火熱的教育形態，而非冰冷的學術形態，將知識發生發展的過程原生態地呈現給學生，我們教師做的只適當的引導。這是數學家的思維，也是創新思維。教學片斷2、3更多的是知識演繹，而教學片斷1體現的是數學抽象對創新思維的價值，知識的演繹可以通過訓練達成，而思維的突破需要更多的呵護與鼓勵！

史寧中教授認為，抽象有兩個層次，一個是直觀描述，另一個是符號表達。史教授建議教師在教學中必須先知道第一次抽象，即物理背景，具體的背景，不要遨游于一大堆抽象的符號之間，先要為學生提供感性認識，有了直觀，才能判斷。第二次抽象，引導幫助學生形成符號語言，即讓學生會用符號語言描述。學生身邊的事物是最鮮活的也是最直觀的情境，同時也是學生最感興趣的。我們數學教師應該思考如何將學生在生活中的所見、所聞、所感融入數學課堂，從生活化實例中抽象出數學概念與規則，讓學生學會用數學的眼光觀察現實世界，打開數學抽象之門。

[本文系廣東教育學會教育科研規劃小課題研究項目立項課題“廣州市增城區第一中學數學初高中銜接教學的實踐與研究”結題成果，課題編號：GDXKT14649）]

參考文獻：

[1]羅志高.讓生活走進數學課堂的實踐與思考[J].增城教育，2012（2）.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].人民教育出版社.

[3]郭志堅.基于數學抽象核心素養提升的案例研究[J].學苑教育，2017（11）.

[4]史寧中.數學的基本思想[J].數學通報，2011（01）.