“正交分解”在高中物理習題中的應用

林澤煒

【摘? 要】正交分解是解答高中物理習題極為有效的一種方法，也是歷年高考重點考核的對象。本文通過正交分解不同的物理量來解決不同的矢量問題，就正交分解法解題的“巧勁”做一些歸納和總結。

【關鍵詞】物理模型;正交分解法;應用

一、基本模型分解力

正交分解，是指把力沿著兩個選定的相互垂直的坐標軸方向加以分解的方法，通過必修1的教學，學生已能使用正交分解分析水平面、豎直面和斜面上的物體，正交分解模型基本確立。

二、活化模型分解運動量

經典問題1：用一根長為L的細線一端系一小球（可視為質點），另一端固定在一個光滑錐頂上，如圖所示，錐面與豎直方向夾角為θ，小球沿著錐面在水平面內做向心加速度為a的勻速圓周運動，若小球未離開斜面，試分析細線的張力FT和錐面的支持力N與a的關系。

本問題是要利用牛頓第二定律分析物體的圓周運動，按常規思路，應將力沿平行半徑和垂直半徑的方向進行分解，做法如下：

這種方法格式固定、容易理解，但由于涉及比較巧妙的數學運算，方程不易求解。如果這是一道選擇題，會列方程卻不會求解，做了也白做。根據獨立性原理，某方向上的力只會產生該方向上的加速度，這給我們分析問題提供了又一思路。

這里，將力和向心加速度同時沿平行斜面和垂直斜面進行分解，分方向列出牛頓第二定律后，移項即可得出答案。對于“斜面上”的物體，如果加速度沿水平或豎直方向，在分解力的同時“按需”分解加速度，往往能化繁為易，減小運算量。

經典問題2：水平面上固定一個傾角為α的斜面，將一個小球從斜面頂端以速度v0水平拋出，不計空氣阻力的影響，經過時間t小球落在斜面上，求在這一運動過程中小球距斜面的最遠距離hm=？

分析做平拋運動的物體時，正交分解因其“化曲為直”的優點而被廣泛使用。本問題中，如果采用常規思路，把平拋分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體，我們很難找出最遠距離同平拋的水平位移和豎直位移之間的幾何關系。如果把重力和初速度均沿平行斜面和垂直斜面進行分解，根據運動的等效性，平拋可視為平行斜面的勻加速直線運動（a1=gsinα）和垂直斜面的勻減速直線運動（a2=gcosα）的合運動，容易發現：當垂直斜面的分速度減小為0，即：

這時，物體離斜面最遠，這個最遠距離恰好等于物體在該方向勻減速到0時前進的位移，即：

像“物體在某個方向運動（這個方向稱為x方向，與之垂直的方向稱為y方向）的最大距離”一類的問題，把力和速度同時沿x方向和y方向進行正交分解，抓住沿x方向減速到0的特征，思路就比較清晰。

三、深化物理模型分解電場強度

經典問題3：如圖所示，A、B、C、D、E、F為勻強電場中一個邊長為1m的正六邊形的六個頂點（勻強電場和六邊形所在平面平行），B、C、F三點電勢分別為1 V、2 V、3 V，該勻強電場的場強大小為______V/m。

大眾印象中，正交分解只是分析動力學問題的“利器”，但實際上它也是解決其他矢量問題的有力工具。比如，勻強電場中，根據電場的特性，水平（豎直）方向的電場在豎直（水平）方向上不會產生電勢差，如果將電場正交分解為水平（x方向）和豎直（y方向）兩個相互垂直的方向的電場Ex和Ey，那就可以理解為水平（豎直）方向的電場產生水平（豎直）方向的電勢差，于是有：Ex=Ux/dx;Ey=Uy/dy，其中Ex、Ux、dx（Ey、Uy、dy）分別對應x方向（y方向）上兩點間的電場強度、電勢差和距離。

本題中，因UC-UB=UE-UF，則UE=4V;FC連線中點的電勢為U0=UCF/2=2.5V，則由UO-UC=UE-UD可知UD=3.5V，由UA-UB=UE-UD可知UA=1.5V;若將電場沿DC方向和DF方向進行正交分解，容易求得：

水平分電場：

豎直分電場：

再根據矢量合成容易得出總電場強度：

可見，正交分解法有助于學生深入理解勻強電場U=Ed這一規律的本質特征，對于分析已知某三個點電勢的勻強電場的場強，能有效避開復雜的幾何分析。

四、結語

正交分解加速度、速度和電場強度，根據需要分解不同的物理量，選擇不同的分解方向，這種“按需”分解對于解決諸多矢量問題往往有事半功倍的奇效。這些問題的解決，活化了正交分解的方法，深化了正交分解的模型，豐富了正交分解的內涵，也推動了科學思維這一學科核心素養的有效滲透。

參考文獻：

[1]劉建兵.淺析高中物理解題方法[J].新課程學習（上），2013（9）.

（責任編輯? 袁 霜）